30. Гипотеза А. Шинцеля

Многочлен от переменной с целыми коэффициентами мы называем неприводимым, если он не является произведением двух многочленов с целыми коэффициентами, степени которых меньше степени рассматриваемого многочлена.

Относительно многочлена с целыми коэффициентами напрашивается вопрос, когда такой многочлен при натуральных значениях дает бесконечно много простых чисел. Легко доказать, что необходимым условием этого является требование, чтобы многочлен был неприводимым. Однако такое условие не является достаточном, ибо, как легко доказать, многочлен

является неприводимым, но ни при одном натуральном значении не дает простого числа: для каждого натурального его значение есть число четное

Легко также доказать, что кроме неприводимости многочлен должен удовлетворять еще следующему условию: не существует ни одного натурального числа которое являлось бы делителем числа при каждом целом значении

Являются ли эти условия достаточными для того, чтобы многочлен с целыми коэффициентами, где коэффициент при наивысшей степени положителен, давал бесконечно много простых чисел для натуральных . В прошлом веке В. Я. Буняковский высказал предположение, что это так. Из данной гипотезы сейчас же следует, что существует бесконечно много простых чисел вида где натуральное число. Из нее же следует также, что существует бесконечно много натуральных чисел для которых является числом простым.

Из гипотезы А. Шинцеля, о которой речь идет ниже, следует, что для каждого натурального числа существует бесконечно много натуральных чисел для которых все четыре числа простые.

А. Шинцель высказал следующую общую гипотезу

Если натуральное число, многочлены с целыми коэффициентами, имеющие при наивысших степенях положительный коэффициент, неприводимые и удовлетворяющие следующему условию не существует натурального числа которое являлось бы делителем произведения для каждого целого значения то существует бесконечно много натуральных чисел для которых каждое из чисел является простым.

Пусть, в частности, где данное натуральное четное число. Имеем здесь

Если бы существовало натуральное число такое, что для каждого целого числа то должно было бы быть что

невозможно, ибо, как известно, два последовательных нечетных числа не имеют ни одного общего делителя, большего единицы. Таким образом, условие здесь выполнено, и из гипотезы следует, что существует бесконечно много натуральных чисел таких, что числа являются простыми, стало быть, где простые числа, откуда Поэтому из гипотезы следует, что каждое натуральное четное число может быть представлено бесконечным числом способов в виде разности двух простых чисел. В частности, для отсюда следует существование бесконечного множества пар простых чисел близнецов.

Из гипотезы Шинцеля можно вывести еще много других теорем о простых числах, которые до сих пор не доказаны.