26. Простые числа в различных бесконечных последовательностях

Вопрос, содержит ли данная бесконечная последовательность, определенная даже несложным способом, бесконечно много простых чисел, вообще говоря, весьма труден. Как мы уже говорили, мы не знаем, содержат ли последовательности бесконечно много простых чисел. Мы не знаем также, содержит ли бесконечное множество простых чисел последовательность Также обстоит дело и в случае так называемой последовательности Фибоначчи определенной условиями

Первыми членами этой последовательности являются числа .

Доказано, что числа являются простыми для Других простых чисел мы пока не знаем. Наибольшее известное простое число есть число , имеющее 10 цифр. Можно доказать, что если и число является простым, то и число должно быть простым, но не обязательно наоборот, так как, например,

Мы не знаем, имеется ли среди чисел где простое число, бесконечно много составных.

Рассмотрим также последовательность определенную условиями

первыми членами которой являются числа Числа являются простыми для . Наибольшее известное простое число есть число Мы не знаем, существует ли бесконечно много простых чисел

Укажем здесь еще одну последовательность, которой в последние годы занималось несколько математиков. При ее построении исходим из последовательности всех нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... Положим ; наименьшее число последовательности, большее есть 3, его мы и примем за . Вычеркнем из нашей последовательности каждое третье число (т. е. числа, находящиеся на местах третьем, шестом, девятом и т. д.). Таким путем мы получим новую последовательность: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 27, ... Наименьшее число этой последовательности, большее есть 7, его мы и примем за Вычеркнув теперь из последней последовательности каждое седьмое число, получим последовательность 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 27, ... Наименьшее число этой последовательности, большее есть 9, его мы примем за Из полученной последовательности будем вычеркивать теперь каждое девятое число. Поступая так далее, получим бесконечную последовательность , у которой членами, меньшими ста, будут числа: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99.

Числа нашей последовательности названы счастливыми. Мы не знаем, имеется ли среди них бесконечно много простых. Подсчитано, что среди счастливых чисел, меньших 98600, имеется 715 простых чисел.