13. Арифметические прогрессии, образованные из простых чисел

Доказано, что существует бесконечно много арифметических прогрессий, образованных из трех разных простых чисел. Мы знаем много прогрессий, образованных из трех различных простых чисел, первыми членами которых является число 3, например: 3, 7, 11; 3, 11, 19; 3, 13, 23; 3, 17, 31; 3, 23, 43; 3, 31, 59; 3, 37, 71; 3, 41, 79; 3, 43, 83. Однако неизвестно, существует ли их бесконечно много.

Легко доказать, что не может быть арифметической прогрессии, образованной из трех разных простых чисел, первым членом которой было бы число 2 (так как третий член последовательности был бы четный Высказано предположение, что существует бесконечно много арифметических прогрессий, образованных из трех простых чисел, первым членом которых является любое простое нечетное число.

Существует только одна арифметическая прогрессия с разностью 2, составленная из трех простых чисел, именно: 3, 5, 7 (так как из трех последовательных нечетных чисел одно всегда делится на 3), а также только одна такая арифметическая прогрессия с разностью 4, именно: 3, 7, 11. Очевидно, не может быть арифметических прогрессий, составленных из трех простых чисел, с нечетной разностью. Высказано предположение, что существует бесконечно много прогрессий с разностью 6, образованных тремя простыми числами. Таковыми являются, например, прогрессии: 5, 11, 17; 11, 17, 23; 17, 23, 29. Имеется также прогрессия с разностью 6,

образованная из пяти простых чисел: 5, 11, 17, 23, 29. Однако она является единственной, так как в каждой прогрессии с разностью 6, составленной из пяти натуральных чисел, один из членов должен делиться на пять.

Напрашивается вопрос, существует ли арифметическая прогрессия, состоящая из любого числа разных простых чисел. Среди известных нам наибольшую длину имеет прогрессия, состоящая из 12 членов. Эта прогрессия была найдена В. А. Голубевым, ее первый член 23 143, а разность 30 030.

Мы не знаем, существует ли арифметическая прогрессия, образованная из ста разных простых чисел. Кантор доказал, что в арифметической прогрессии, составленной из простых чисел, больших , разность прогрессии должна делиться на каждое простое число Отсюда следует, что если существует арифметическая прогрессия, образованная из ста разных простых чисел, то разность ее должна быть огромным числом, имеющим по крайней мере несколько десятков цифр.

Высказано предположение, что если есть натуральное число, делящееся на каждое простое число (где заданное натуральное число то существует бесконечно много арифметических прогрессий с разностью образованных из последовательных простых чисел. Например, 47, 53, 59 есть арифметическая прогрессия с разностью 6, образованная тремя последовательными простыми числами. Другими такими прогрессиями являются 151, 157, 163; 167, 173, 179. Мы знаем также арифметические прогрессии с разностью 6, образованные из четырех последовательных простых чисел, например, 251, 257, 263, 269 или 1741, 1747, 1753, 1759.