11.2. Принцип обобщения и степень совместимости

Использование нечеткого множества позволяет обобщить обычные (четкие) отображения, функции, операции, отношения и т.п. на случай, когда аргументы нечетко определены.

Пусть — четкое отображение из универсума X в универсум Если А — нечеткое множество, заданное на универсуме X, то его образом будет нечеткое множество В, заданное на универсуме

где обозначает верхнюю границу (наибольшее значение) функции принадлежности Это выражение обычно называют принципом обобщения. В случае, когда область определения функции обладает

некоторой структурой, например является подмножеством декартова произведения универсумов на которых заданы соответственно нечеткие множества а универсумы независимы друг от друга, принцип обобщения имеет следующий вид:

Таким образом, с помощью рассмотренного принципа обобщения можно осуществить переход от нечетких множеств, каждое из которых имеет свою функцию принадлежности и задано на своем универсуме из множества универсумов к одному нечеткому множеству, заданному на одном универсуме с одной функцией принадлежности:

В настоящей книге принцип обобщения напрямую практически не используется. Его роль является важной при определении так называемой степени совместимости нечетких множеств. В дальнейшем, в результате нечеткого вывода могут быть получены различные нечеткие множества, которые необходимо сравнивать друг с другом с той или иной целью, например, для оценки их близости. Степень совместимости нечеткого множества В с нечетким множеством А, каждое из которых задано на одном и том же универсуме определяется следующим образом.

Пусть — функции принадлежности нечетких множеств А и В соответственно. Функция определяет степень принадлежности элемента и нечеткому множеству В. Используя принцип обобщения, можно получить нечеткое множество

Это нечеткое множество и называют степенью совместимости нечеткого множества В с нечетким множеством А. Универсумом нечеткого множества является интервал [0, 1]. Чем ближе нечеткое множество В к нечеткому множеству А, тем больше элементов множества , в которых значение совпадает с Если эти множества одинаковы, то для всех

Во многих прикладных задачах, например, распознавание сигналов и образов по эталонам, сравнение одной формулы с другой (эталонной), семантика эталонов задается нечетким множеством А, а семантика вновь полученного образа, сигнала или формулы — множеством В. В этом случае степень совместимости используют для оценки степени близости вновь полученного сигнала, образа или формулы, семантика которых выражается нечетким множеством В, к эталонам, семантика которых выражается нечетким множеством А. На основе степени совместимости могут быть построены различные меры для оценки степени близости.