11.5. Нечеткозначное исчисление

Введенные в предыдущих разделах понятия позволяют ввести нечеткозначное исчисление, значениями формул которого будут не Истина или Ложь, а конкретизированные нечеткие отношения. Сами формулы при этом называют формулами нечеткозначного исчисления. Значения формул, являющиеся конкретизированными нечеткими отношениями, определяют наличие или отсутствие тех или иных нечетких отношений в среде (базе данных). Перейдем к более конкретным определениям нечеткозначного исчисления.

Сделаем два необходимых для дальнейшего утверждения, которые достаточно очевидны и могут быть легко доказаны.

Проекция нормальной схемы отношений на любую подсхему является нормальной схемой отношений.

Проекция сепарабельной схемы отношений на любую подсхему является сепарабельной схемой отношений.

Рассмотрим предварительно некоторые свойства сепарабельных нормальных нечетких схем отношений.

Имеем сепарабельную нормальную нечеткую схему отношений где Пусть - все нечеткие схемы отношений, полученные с помощью всех возможных проекций схемы включая саму эту схему. Согласно приведенным ранее утверждениям, любая схема , как и схема является нормальной и сепарабельной. Отсюда следует, что схема может быть получена с помощью использования одной из следующих операций. Операция декартова произведения двух схем т.е.

Операция проекции схемы такой, что т.е.

Операция включения в схему т.е.

Множеством всех схем при фиксированном является

Множество схем в свою очередь входит в множество нормальных сепарабельных схем Т:

Таким образом, все множество рассмотренных схем можно представить с помощью диаграммы Венна так, как показано на рис. 11.13. Здесь П — множество всех нечетких схем отношений, — множество нечетких схем отношений, которые могут быть получены по сепарабельным нормальным схемам множества Т с помощью операций, но не обязательно являются сепарабельными и нормальными. Поскольку исходная схема отношений является подмножеством множества то ее вывод может быть всегда осуществлен с помощью операций проекции, декартова произведения и включения.

Рис. 11.13. Взаимосвязь множеств нечетких отношений

Нечеткий вывод. На основании рассмотренных выше операций введем следующие правила для осуществления нечеткого вывода.

11.5.1. Правило следования

Если известна нечеткая конкретизированная схема отношений и существует нечеткая конкретизированная схема такая, что то можно вывести нечеткую конкретизированную схему

11.5.2. Правило обобщения

Если известна нечеткая конкретизированная схема отношений то можно вывести нечеткую конкретизированную схему отношений

11.5.3. Правило проекции

Если известна нечеткая конкретизированная схема отношений то выводима нечеткая конкретизированная схема отношений

11.5.4. Правило пересечения

Если известны нечеткие конкретизированные схемы отношений то выводима нечеткая конкретизированная схема отношений

Под выводом в нечеткозначном исчислении будем понимать такую последовательность применения перечисленных правил, в результате которого выводится требуемая целевая формула, значением которой является нормальная сепарабельная нечеткая схема отношений. При этом важным является тот факт, что применение правил следования, обобщения, проекции к любым элементам множества Т (сепарабельным нечетким нормальным схемам) порождает только элементы множества Т. Таким образом, задавшись некоторым конечным множеством нечетких конкретизированных схем отношений, принадлежащих множеству Т (аксиом), и применяя правила следования, обобщения, проекции, мы можем выводить новые нечеткие сепарабельные нормальные конкретизированные схемы отношений (теоремы). Однако, если заранее неизвестно, что все исходные нечеткие конкретизированные схемы отношений таковы, что они принадлежат множеству Т, то использование приведенных правил может привести к результату, который не является нормальной сепарабельной схемой. Следовательно, возникает проблема установления принадлежности всех аксиом множеству Т.

Множество Т является множеством нормальных и сепарабельных схем отношений. Поэтому все значения исходного множества аксиом также должны быть нормальными и сепарабельными схемами, а в результате применения к ним перечисленных правил должны выводиться также нормальные и сепарабельные схемы отношений. Если все исходные нормальные и сепарабельные схемы отношений являются таковыми, то они называются согласованными. Для проверки множества схем на согласованность могут быть использованы разные стратегии. Одной из них может быть стратегия проверки на каждом очередном шаге вывода нормальности и сепарабельности вновь выведенной схемы нечетких отношений. Если она таковой не является, то следует возвратиться к предыдущему шагу вывода, отказываясь от пути вывода, который привел к получению аномальной схемы отношений.

Использование нечеткозначного исчисления непосредственно в рассмотренном виде неудобно, хотя и возможно. На практике используются более выразительные языки, семантика которых определяется посредством нечеткозначного исчисления. Эти языки учитывают особенности среды, с которой приходится иметь дело и называются обычно проблемно-ориентированными языками. Рассмотрим пример такого языка, правила перехода от него к нечеткозначному исчислению и решение задачи с помощью нечеткозначного исчисления.