11.4. Нечеткие действия (операторы)

Как и в случае реляционных баз данных, над нечеткой базой данных совершаются различные действия. Эти действия совершаются для того, чтобы достичь, как и ранее, определенных целей, но уже в условиях нечеткости схем отношений. Множество всех действий распадается на следующие три группы.

Действия, направленные на изменение состояния базы: модификацию функций принадлежности и доменов.

Действия, направленные на изменение схем отношений (замена, добавление, удаление или модификация схем).

Действия, направленные на формирование обобщенных схем отношений на основе имеющихся в базе конкретизированных или вновь образованных схем отношений без изменения состояния базы.

Первая группа действий может изменять состояние базы данных (изменение доменов). Вторая группа действий изменяет схемы. Состояние базы при этом может изменяться. Третья группа действий ничего не изменяет в базе, порождая новые схемы и предназначена для вывода заключений по фиксированному состоянию базы данных. Рассмотрение первых двух групп не входит в задачу настоящей главы. Действия третьей группы соответствуют в теории реляционных баз данных операторам или операциям, но в нашем случае осуществляются не над четкими схемами отношений, а над нечеткими. Таким образом, в нашем случае объектом третьей группы действий являются конкретизированные нечеткие схемы отношений Каждой такой нечеткой схеме отношений однозначно соответствует основа схемы отношений , множество доменов и нечеткие множества Введем также следующие обозначения.

Множество всех основ схем отношений

Множество всех основ схем отношений включает все возможные основы схем отношений с любой арностью от унарных до N-арных. База данных, содержащая множество схем, соответствующих всем основам, называется полной. В противном случае она неполная.

Множество всех схем отношений

Множество всех действий (операций) третьей группы над нечеткими схемами отношений, в результате которых формируются новые нечеткие схемы отношений и определяются соответствующие им нечеткие множества, можно подразделить на следующие группы:

теоретико-множественные операции дополнения, объединения, пересечения:

операции линейного преобразования

пороговые операции:

операции цилиндрического продолжения:

операции проекции:

11.4.1. Теоретико-множественные операции

Теоретико-множественные операции, рассматриваемые в настоящем разделе, являются обобщением операций над нечеткими множествами для одного универсума. Рассматриваемые операции применяются к исходным схемам отношений нечеткое множество которых известно и задано на универсуме, являющемся множеством . В результате этих операций получается новая нечеткая схема отношений, определенная на том же универсуме. Таким образом, теоретико-множественные операции будем рассматривать применительно к схемам где

В результате применения операции дополнения, обозначаемой знаком по схеме получаем схему

Пример применения операции дополнения представлен на рис. 11.1, где с помощью выносных линий показаны функции принадлежности и нечеткие множества, в которые они входят. Основа схем отношений на рис. 11. 1 и всех последующих указана в общем виде, несмотря на то, что рисунки иллюстрируют только случаи для основ, содержащих один или два атрибута. Для рис. 11.1 это означает, что причем

Рис. 11.1. Операция дополнения

Применяя операцию объединение, обозначаемую знаком и, получаем

Выполняя операцию знаком имеем

Примеры операций объединения и пересечения показаны на рис. 11.2.

Рис. 11.2. Операции объединения (а); пересечения (б)

Применяя операцию следования, обозначаемую знаком с, получаем

где

Пример применения операции следования представлен на рис. 11.3.

Рис. 11.3. Операция следования

11.4.2. Операции линейного преобразования

Операции линейного преобразования определяются двумя параметрами к и и являются унарными, т.е., как и операция дополнения, совершаются над одним нечетким множеством. В результате применения этих операций получается новое нечеткое множество Иными словами, любая операция линейного преобразования является унарной операцией, принимающей в качестве аргумента нечеткое множество и возвращающей в качестве результата в общем случае другое нечеткое множество которому соответствует та же основа схемы отношений. Таким образом, при этой операции преобразованию подвержена только функция принадлежности. Другими словами, функция принадлежности нечеткого множества является результатом линейного преобразования функции принадлежности нечеткого множества

Каждая операция определяется значением параметров к и т.е. зависит от взаимного расположения прямой и единичного квадрата внутри которого расположена функция принадлежности

При (прямая монотонно возрастает) существуют семь вариантов взаимного расположения этой прямой и единичного квадрата (рис. 11.4). Рассмотрим каждый из этих вариантов.

Рис. 11.4. Варианты (1—7) взаимного расположения прямой и единичного квадрата

Вариант 1. . В этом варианте прямая пересекает единичный квадрат в точке полностью лежит выше его. Как следствие этого

Вариант 2. Прямая в этом варианте проходит через две стороны квадрата, которые определяются вершинами: соответственно, т.е. корни уравнений не принадлежат интервалу (0,1) по оси абсцисс.

Пересечение прямой и единичного квадрата обеспечивается при выполнении условия Корни уравнения не принадлежат интервалу (0,1), если или — Разрешая эти неравенства относительно и учитывая, что получим или Заметим, что при прямая либо не пересекает, либо имеет единственную точку пересечения с единичным квадратом, а значит, имеет смысл рассматривать только условие Аналогично, корни уравнения не принадлежат интервалу (0,1), если или т. е. или Учитывая, что при прямая либо не пересекает, либо имеет единственную точку пересечения с единичным квадратом, оставим только условие .

Таким образом, этот вариант полностью характеризуется условиями Пример применения операции соответствующей этому варианту, представлен на рис. 11.5.

Рис. 11.5. Применение операции А. по варианту 2 при

Вариант 3. Определяется условием (частный случай варианта 2). Операция соответствующая этому варианту, дает

Вариант 4. Прямая соответствующая этому варианту, проходит через две стороны квадрата, определенные вершинами: соответственно. Это условие можно выразить следующим образом: во первых, корень уравнения принадлежит интервалу (0,1), т.е. вторых, корень уравнения не принадлежит интервалу (0,1), т.е. . Таким образом, вариант 4 полностью определяется условиями: если если В результате применения операции соответствующей этому варианту, получается нечеткое множество являющееся подмножеством нечеткого множества т.е. Пример применения операции по этому варианту при представлен на рис. 11.6.

Рис. 11.6. Применение операции по варианту 4 при

Вариант 5. Прямая соответствующая этому варианту, проходит через две стороны квадрата, определенные вершинами: соответственно. Это условие можно выразить так: во-первых, во-вторых, корень уравнения принадлежит интервалу (0,1), т.е. Таким образом, вариант 5 полностью определяется условием: если если . В результате применения операции соответствующей этому варианту, получается нечеткое множество включающее нечеткое множество т.е. Пример применения операции К по этому варианту при к -к представлен на рис. 11.7.

Рис. 11.7. Применение операции по варианту 5 при

Вариант 6. Прямая соответствующая этому варианту, проходит через две стороны квадрата, определенные вершинами: Это условие можно выразить следующим образом, во-первых, корень уравнения принадлежит интервалу (0,1), т.е. во-вторых, корень уравнения также принадлежит интервалу (0,1), т.е. Одновременное выполнение этих условий возможно только при Таким образом, вариант 6 полностью характеризуется условием При значениях параметров, удовлетворяющих этому условию, операция X увеличивает значения функции принадлежности, которые превышают , и уменьшает те, которые меньше, чем . Пример применения операции X при представлен на рис. 11.8.

Вариант 7. Для этого варианта т.е. прямая пересекает единичный квадрат в точке и полностью лежит ниже его. Как следствие этого

Рис. 11.8. Применение операции по варианту 6 при

При функция принадлежности для любого элемента множества доменов (рис. 11.9). В частности, при получим нечеткое множество, функция принадлежности которого на любом элементе универсума равна 1, а при соответственно, нулю.

Рис. 11.9. Результат операции при

11.4.3. Пороговая операция

Пороговая операция имеет параметр называемый порогом, и может рассматриваться как предельный случай операции линейного

преобразования при . В результате ее применения получается нечеткое множество, функция принадлежности которого

Пример применения операции представлен на рис. 11.10.

Рис. 11.10. Применение пороговой операции

11.4.4. Цилиндрическое продолжение

Операция цилиндрического продолжения, в отличие от уже рассмотренных, имеет дело не с одной схемой отношений, а с двумя. Если — основы этих схем отношений, то ее можно определить следующим образом:

где — нечеткое множество, определенное на универсуме Функция принадлежности множества Л определяется так: для всех и Пример применения операции цилиндрического продолжения для нечетких множеств в результате чего получено нечеткое множество представлен на рис. 11.11.

11.4.5. Проекция

Операция проекции нечеткого отношения где нечеткое множество, определенное на универсуме (и, на нечеткое множество определяется следующим образом:

где — нечеткое множество, определенное на универсуме с функцией принадлежности

Пример применения операции проекции представлен на рис. 11.12.

Рис. 11.11. Применение операции цилиндрического продолжения

Рис. 11.12. Применение операции проекции нечеткого отношения

Посредством введенных операций можно получить другие операции над нечеткими множествами, например, операции декартова произведения и копроизведения.

11.4.6. Декартово произведение

Операция декартова произведения нечетких множеств где является пересечением цилиндрических продолжений:

11.4.7. Копроизведение

Операция копроизведения тех же нечетких множеств является объединением цилиндрических продолжений

11.4.8. Выборка

Операция выборки позволяет сформировать новое нечеткое множество по нечеткому множеству на основе проверки формулы 0:

В принципе формула 0 может быть любой формулой, построенной с использованием связок и операций сравнения доменов. В результате операции выборки в множество отбираются только те домены для которых формула 0 истинна. Функции принадлежности этих доменов не изменяются.

11.4.9. Сравнение

Операция сравнения состоит в сравнении двух нечетких множеств. Нечеткое множество равно нечеткому множеству если и для всех и имеет место Операцию сравнения двух нечетких множеств будем записывать как

11.4.10. Включение

Операция включения состоит в проверке на включение одного множества в другое. Нечеткое множество включается в а нечеткое множество включает (содержит) и для всех и имеет место Операцию включения будем записывать как