11. НЕЧЕТКИЕ ЗНАНИЯ И РАССУЖДЕНИЯ

Рассматривается, как можно представлять знания о среде в условиях, когда нет полной уверенности, что эти знания истинны, и как в этом случае может быть организован вывод.

Любая формула логики высказываний или логики предикатов первого порядка может быть только либо ложной, либо истинной. Это означает, что при использовании этих логик агент имеет возможность делать только одно из противоположных суждений о ложности или истинности каких-либо событий, фактов, отношений в среде, с которой он имеет дело. Реальные среды далеки от такого идеала, при котором о любом явлении, событии, отношении в среде можно говорить с категорической уверенностью, что оно имеет или не имеет места. Основными источниками такого рода неопределенности являются следующие факторы.

Практическая невозможность или нежелание сделать описание знаний о среде полным вследствие высокой размерности среды и, как следствие, высокой сложности описания, например, по затратам времени и памяти. В терминах состояний среды это означает неполное описание состояний среды и переходов между ними в результате действий агента, требуемых для решения задачи.

Недостаточная теоретическая изученность свойств среды, что не позволяет описать ее достаточно адекватно. В терминах состояний и переходов между ними получаем тот же результат, что и в предыдущем случае.

Недетерминированность переходов среды из одного состояния в другое. Для описания знаний о таких средах средствами логики предикатов требуется либо детерминизация этого описания, либо применение адекватных средств описания, позволяющих учитывать и каким-либо образом представлять недетерминированность среды.

Настоящая глава посвящена тому, как можно задавать такого рода неопределенность и как осуществлять вывод в этом случае. Имеются различные подходы и основанные на них методы задания и вычисления неопределенности. Среди всех этих подходов можно выделить два главенствующих.

Один из них основан на введении числовой оценки, характеризующей степень уверенности или доверия к истинностным значениям вычисляемых формул. По степени уверенности можно судить, как далеки формулы от полной истинности или ложности. Иначе говоря, сначала формула вычисляется так же, как и прежде, и определяется, истинна она или ложна, а потом вычисляется степень уверенности в истинности этой формулы. Существуют различные подходы к вычислению степени уверенности. Чаще всего степень уверенности — это положительное число, изменяющееся в диапазоне от 0 до 1. Чем больше это число, тем выше степень уверенности в истинности формул. Математические аппараты для вычисления степени уверенности также могут быть различными. Очень популярным является аппарат теории вероятностей. В этом случае степень уверенности истинности атомов задается как вероятность, а степень истинности формул, в которые эти атомы входят, вычисляется по законам условной вероятности.

При другом подходе для каждого атома или формулы вводятся целый спектр возможных значений, лежащих между и и правила вычисления этих значений. Вычисленные таким образом значения определяют степень истинности формул. В настоящей главе рассмотрен второй подход. Фундаментом этого подхода является нечеткая логика, предложенная Заде в начале 60-х годов. Рассмотрим основополагающие понятия нечеткого множества и функции принадлежности.

11.1. Нечеткое множество и функция принадлежности

Нечетким множеством А называют совокупность упорядоченных пар: где — функция принадлежности нечеткого множества А, ее значение характеризует степень принадлежности элемента и множеству Множество называют универсальным множеством, или универсумом. С нечетким множеством связан ряд следующих понятий и определений, необходимых в дальнейшем.

Под основой нечеткого множества А подразумевают подмножество множества V, на всех элементах и которого функция принадлежности имеет значение, большее 1, т.е.

Ядром нечеткого множества А называют множество

Нечеткое множество А нормальное, если , или, другими словами, если в множестве А существует хотя бы один элемент, функция принадлежности которого равна 1. В противном случае нечеткое множество является аномальным.

Для нечетких множеств на упорядоченных универсумах вводят понятие выпуклости. Нечеткое множество А называют выпуклым, если его функция

принадлежности выпукла, т.е. для любых трех точек справедливо выражение

На множестве нечетких множеств некоторого универсума которое обозначим вводят следующие операции, аналогичные обычным теоретико-множественным операциям.

Дополнением нечеткого множества А в универсуме называют нечеткое множество

Объединением нечетких множеств А и В называют нечеткое множество

Пересечением нечетких множеств А и В называют нечеткое множество

Включение А с Валя нечетких множеств определяют с помощью отношения линейного порядка функций принадлежности на интервале [0, 1]: