ГРУПП ТЕОРИЯ

— раздел алгебры, в котором изучаются свойства групп. Понятие группы сложилось как одно из осн. понятий математики и, в первую очередь, алгебры и геометрии. В 20 в. Г. т. прочно вошла в физику (квантовая механика, кристаллография) и в кибернетику (абстрактная теория автоматов, коды линейные). На первом этапе Г. т. развивалась в рамках теории групп подстановок (или групп преобразований), которая составляет и сейчас одну из центр, глав Г. т. Пусть М — мн-во. Биекция а мн-ва М на себя наз. подстановкой мн-ва М. Если на мн-ве подстановок мн-ва М рассматривать операцию последовательного применения подстановок (их суперпозицию), то совокупность всех подстановок образует группу S (М), называемую симметрической группой мн-ва М. Подгруппы группы S (М) наз. группами подстановок мн-ва М. Если на мн-ве М определена какая-либо структура так, что М является носителем алгебры универсальной или алгебр, системы, то совокупность всех подстановок мн-ва М, которые сохраняют все отношения структуры, образует группу автоморфизмов данной структуры. Напр., пусть V — векторное пространство над полем К. Операции в V — это сложение и умножение векторов . Автоморфизмами пространства являются невырожденные линейные преобразования (см. Операторы линейные): их совокупность — полная линейная группа пространства V и есть группа автоморфизмов пространства. Эта группа изоморфна группе невырожденных квадратных матриц порядка размерности пространства с коэфф. из поля К. Пусть Е — евклидово векторное пространство, наряду с векторными операциями на нем определена еще операция скалярного произведения. Автоморфизмами пространства Е являются т. н. ортогональные линейные преобразования, которым в ортонормированием базисе соответствуют ортогональные матрицы: их совокупность образует ортогональную группу, являющуюся группой автоморфизмов пространства. Исторически первым было понятие группы Галуа многочлена. Пусть многочлен с коэфф. из поля К и пусть корни этого многочлена. Тогда совокупность всех подстановок множества всех корней, сохраняющих все отношения вида с коэфф. К, наз. группой Галуа многочлена f(x). Франц. матем. Э. Галуа (1811 — 32) вывел условие, необходимое и достаточное для разрешимости ур-ния в радикалах. Из него следовала неразрешимость в радикалах общего ур-ния пятой и выше степени. Возникшая в связи с решением этих задач т. н. теория Галуа стала отправным пунктом для развития Г. т. Осн. причиной успеха понятия группы и понятия группы автоморфизмов оказался тот замечательный факт, что строение группы автоморфизмов какой-либо структуры несет большую информацию о свойствах этой структуры: строение группы автоморфизмов характеризует в некотором смысле свойства симметрии соответствующей структуры. В 20 в. развивается теория абстрактных групп, изучающая свойства групп и классов групп, определенных вплоть до изоморфизма и независимо от их конкретного задания преобразования и автоморфизмами структур. Теория абстрактных групп выясняет, какие подгруппы содержит данная группа и как они в ней расположены, изучает существование или отсутствие эпиморфизмов одних групп на другие; интерес представляет задание групп образующими и определяющими отношениями и, наконец, систематически исследует различные процедуры, позволяющие строить новые группы из заданных — прямые, подпрямые, свободные произведения групп, расширения групп, сплетение и др. Лит.: Мальцев A. П. Группы и другие алгебраические системы. В кн.: Математика, ее содержание, методы и значения. М., 1956; Курош А. Г. Теория групп. М., 1967 [библиогр. с. 581-63-6 3; Вейль Г. Классические группы. Пер. с англ. М., 1947 [библиогр. с. 389-398 ]; Холл М. Теория групп. Пер. с англ. М., 1962 [библиогр. с. 452—459].

Л. А. Калужнин.