§ 32. Энергия недеформируемой системы зарядов во внешнем поле. Силы, действующие на систему

Рассмотрим недеформируемую (твердую) систему зарядов (систему, в которой внешние электрические силы не вызывают перераспределения зарядов). Вычислим энергию такой системы, находящейся во внешнем поле. Пусть потенциал внешнего поля в точке Энергия заряда расположенного в элементе объема равна а полная потенциальная энергия системы во внешнем поле равна

Множитель отсутствует в согласии с (31.03).

Исследуем это выражение в предположении, что внешнее поле слабо меняется на протяжении области, занятой зарядом. Выберем внутри системы некоторую точку О с радиус-вектором за начало координат. Тогда Разложив потенциал вблизи начала получим

Подстановка в (32.01) дает

Так как есть полный заряд системы, то первый член равен

и выражает энергию, которой обладал бы заряд системы, будучи сосредоточенным в точке

Поскольку и согласно есть дипольный момент системы, то энергия диполя во внешнем поле равна

где угол, образованный направлением диполя с направлением внешнего поля.

Третий член разложения (энергию квадруполя во внешнем поле) легко представить (см. § 30) в форме

Итак, энергию системы зарядов во внешнем поле можно представить как сумму энергии точечного заряда, равного полному заряду системы, энергии точечного диполя, энергии квадруполя и т. д.

Вычислим электрические силы, действующие на систему во внешнем поле. Пусть потенциальная энергия системы задана как функция координат Обобщенная сила, действующая на координату равна

Рис. 18.

Если система нейтральная но то энергия есть функция от координат диполя и от угла Поэтому в неоднородном электрическом поле на диполь будет действовать сила

(так как ). Кроме того, в любом поле на диполь действует пара сил с моментом

ли в векторной форме

Этот момент стремится повернуть диполь параллельно полю.

Наглядно эти силы легко представить для простейшего диполя во внешнем поле (рис. 18). Если поле однородное, то система сил приводится к паре сил с моментом К. Если поле неоднородное, то система сил приводится к паре и равнодействующей

Задачи

1. Определить взаимную энергию диполя и электрического заряда находящихся на расстоянии друг от друга.

Решение. Заряд образует поле напряженностью Согласно 32.04) взаимная энергия заряда и диполя равна

Тот же результат получится из (32.03), если подставить потенциал диполя из (29.01).

2. Определить взаимную энергию двух точечных диполей, находящихся на расстоянии друг от друга.

Решение. Согласно (32.04) и (29.05)

где радиус-вектор одного из диполеи относительно другого.