§ 46. Запаздывающие потенциалы на большом расстоянии от системы зарядов

Вычисление запаздывающих потенциалов по формулам (45.05) и (45.07) затруднено тем, что интегрирование производится по зарядам и токам у, взятым в различные моменты времени

Значительное упрощение получается в двух предельных случаях: 1) если расстояние от точки наблюдения до системы, создающей поле, велико по сравнению с размерами системы и 2) если имеется движущийся точечный или квазиточечный заряд. Рассмотрим первый случай.

Пусть начало О системы отсчета выбрано внутри области, занятой системой зарядов, а радиус-векторы точки наблюдения А и элемента объема Если размеры системы малы по сравнению с то есть то потенциалы можно разлагать в ряд по степеням у. Этот метод был уже применен в § 28 и 36 для исследования стационарных полей.

Введем единичный вектор тогда

Разлагая и в ряд по получим

Будем вести разложение до членов порядка у включительно. Подставим в выражение для плотности заряда которое разложим в ряд по степеням

Здесь через обозначено в момент обозначает Разделив это разложение на получим

Разложение вектора аналогично (46.03):

Подставив (46.03) в (45.05) и вынеся операцию дифференцирования по времени за знак интеграла, получим

Здесь есть полный заряд системы, согласно (29.02) есть дипольный момент системы, взятый в момент времени Третий член приводится к квадрупольному моменту. Действительно, поле не изменится, если над потенциалами произвести градиентное преобразование с помощью некоторой функции которую выберем равной

Приведем третий член (46.05), вычитая из него и замечая, что к виду

Стоящая под знаком производной величина есть согласно (30.02) компонента квадрупольного момента, взятая в момент времени Выражение для потенциала принимает вид

Первые члены фигурных скобок — известные из второй главы потенциалы точечного заряда и диполя. Члены, обратно пропорциональные называются радиационными мультипольными потенциалами, так как они медленнее других членов убывают с расстоянием и определяют поле изучения (радиации) рассматриваемой системы. Член

называется скалярным дипольным радиационным потенциалом, а член

— скалярным квадрупольным радиационным потенциалом.

Векторный потенциал преобразуется аналогично (46.07). Подставим разложение (46.04) в (45.07). Вынося операцию дифференцирования по времени за знак интегрирования, получим

Первый член (46.10) аналогичен первому члену в (36.01). Но в рассматриваемом случае ток переменный (может быть не замкнутым). Поэтому интеграл не исчезает. Преобразуем его следующим образом:

Первый член (46.10)

есть так называемый векторный дипольный радиационный потенциал. Второй член (46.10) преобразуется аналогично преобразованию второго члена в (36.01)

В этом выражении первый член правой части преобразуем, перейдя к точечным зарядам.

Следовательно,

Здесь согласно магнитный дипольный момент системы, взятый в момент Поэтому

Первый член (46.12) содержит часть квадрупольного момента. Его можно преобразовать, учитывая, что нами было сделано калибровочное преобразование с функцией . К векторному потенциалу согласно (44.07) надо добавить

так как Первый член складывается с первым членом второй фигурной скобки в выражении для второй член складывается с первым членом в (46.12) и образует вторую производную от тензора квадрупольного момента:

Интеграл, стоящий под знаком равен, очевидно, произведению . Поэтому получаем

Первый член в первой фигурной скобке, как уже указано, есть дипольный радиационный потенциал; второй

есть векторный квадрупольный радиационный потенциал; третий член

есть магнитный радиационный потенциал. Заметим, что имеют место соотношения

Первый член во второй фигурной скобке есть магнитный дипольный потенциал, взятый в момент

Рассмотрим условия применимости нашего разложения. Если а — размеры области, занятой зарядами, то Соответствующие производные будут иметь порядки где некоторое характеристическое время изменения системы. Если моменты меняются периодически, то есть период колебаний; если моменты меняются непериодически, то есть время, в течение которого они меняются заметным образом, например на порядок своей величины. В фигурных скобках в выражениях (46.07) и (46.13) мультипольные моменты делятся на различные степени скорости с и мы можем заключить, что в этих скобках производится разложение по степеням параметра Разложение, очевидно, применимо, если

Критерий (46.17) означает, что для применимости разложения надо, чтобы характеристическое время было велико по сравнению

со временем распространения поля через систему, то есть чтобы за время мультипольные моменты менялись незначительно. В случае периодического изменения моментов есть длина волны излучения. Поэтому (46.17) принимает вид

то есть размеры излучающей системы должны быть малы по сравнению с длиной волны излучения.

Заметив, что где есть скорость движения зарядов, можно написать критерий (46.17) в форме

показывающей, что разложение применимо, если скорость зарядов мала по сравнению со скоростью света.

Если (46.17) имеет место, то в фигурных скобках (46.13) можно ограничиться первыми членами разложения. Следующие члены будут играть главную роль, если в силу особо симметричного распределения заряда в системе первые члены исчезают. Если при этом

то членами порядка и высшими вообще можно пренебречь и рассматривать только радиационное поле. Область на больших расстояниях, для которой выполнено (46.20), называется волновой зоной; область, для которой имеет место называется статической.

Задачи

1. Показать, что точечного дипбля вектор Герца задачу § 45) равен

2. Вывести дипольные радиационные потенциалы (46.08) и (46.11), пользуясь вектором Герца из предыдущей задачи.