§ 74. Условия на границе двух тел

С макроскопической точки зрения границу двух тел надо рассматривать как поверхность разрыва, на которой а также векторы поля изменяются скачком. Дифференциальные уравнения

Максвелла на такой границе не применимы, так как входящие в них производные по координатам делаются бесконечными. Поэтому для границы двух тел устанавливаются граничные условия, которые являются своего рода предельной формой уравнений Максвелла.

Рис. 33.

Для вывода граничных условий допустим, что в слое толщиной тело 1 непрерывно переходит в тело 2, то есть меняются непрерывно. На границе раздела 1-го и 2-го тел выберем малую площадку (рис. 33). На этой площадке построим цилиндр высотой так, чтобы площадка Да находилась внутри цилиндра. Обозначим внешнюю нормаль к поверхности цилиндра через а нормаль, проведенную к травнице раздела из первой среды во вторую, через Интегрируя

по объему цилиндра, получим

Здесь поток индукции через боковую поверхность цилиндра, а свободный заряд внутри цилиндра. Если высоту цилиндра стремить к нулю, то обращается в нуль. При этом Де может не обращаться в нуль, так как на границе раздела может существовать свободный поверхностный заряд конечной плотности Таким образом, в пределе получаем соотношение

показывающее, что нормальная составляющая вектора электрической индукции при переходе через границу раздела меняется скачком, если есть поверхностный свободный заряд.

Преобразуем уравнение (70.07). Интегрируя по объему цилиндра, получим

При интеграл по боковой поверхности и исчезают, где линейная плотность поверхностного тока на границе раздела. Окончательно имеем

Преобразуем это граничное условие. Разложим на составляющие вдоль касательной и нормали Подставим последнее в (74.02) и спроектируем на направление вектора Получим

Таким образом, касательная составляющая магнитного поля меняется скачком, если есть поверхностный ток.

Аналогично из уравнений второй группы Максвелла (67.01) получаем

то есть касательная составляющая и нормальная составляющая В на границе двух сред непрерывны.

Применяя тот же метод к уравнениям (69.03) и (70.06), получим

Итак, плотность поверхностного связанного заряда определяется скачком нормальной составляющей вектора поляризации, а поверхностная плотность тока связанных зарядов определяется скачком касательной составляющей вектора намагничивания.

На границе тела 1 и вакуума 2, в котором имеем

то есть поверхностный связанный заряд определяется нормальной составляющей вектора поляризации, а поверхностный ток связанных зарядов определяется магнитной поляризацией вещества. Из уравнения (70.16) получим

Следовательно, поверхностная плотность связанных магнитных зарядов определяется скачком нормальной составляющей вектора намагничивания.

Из граничных условий вытекает явление преломления силовых линий и линий индукции на границе двух сред. Так, например, пользуясь соотношениями при и (74.04), получаем

Введем углы образованные векторами с нормалью так, что Тогда

то есть при переходе в среду с большей магнитной проницаемостью линии индукции преломляются, удаляясь от нормали, и при этом сгущаются. Аналогично получается преломление линий электрической индукции (если ).