§ 89. Энергия системы проводников

Энергия поля системы заряженных проводников получается из формулы (84.03). Так как объемного заряда нет, то энергия равна

где интегрирование производится по поверхности проводника, а суммирование — по всем проводникам. На поверхности проводника Поэтому вынесем за знак интеграла. Так как есть полный заряд проводника, энергия поля будет

Подставим из (88.13), получим

Для двух проводников

Энергия есть собственная энергия системы заряженных проводников и должна быть положительной. Переписав ее в форме

видим, что

Рассмотрим другой вывод выражения для энергии системы двух проводников. Пусть сначала заряды и потенциалы обоих проводников равны нулю. Внесем на первый проводник заряд Тогда потенциалы проводников станут равными Работа заряжения первого проводника равна

Будем постепенно увеличивать заряд второго проводника до Когда заряд второго проводника равен его потенциал равен

Работа переноса заряда из бесконечности на второй проводник равна Поэтому полная работа заряжения второго

проводника от заряда до заряда равна

Полная работа заряжения проводников равна энергии системы двух проводников

Если заряжать сначала второй проводник, а затем первый, то получим

Так как энергия не зависит от пути процесса, то

Отсюда следует, что и в силу

Выразим энергию системы проводников через потенциалы. Подставляя из (88.13) в (89.01), получим

Для уединенного проводника

Задача

Определить энергию и емкость заряженного прямолинейного цилиндрического проводника радиуса а, длина которого I велика по сравнению с радиусом.

Решение. Если то влиянием концов цилиндра можно пренебречь и считать заряд распределенным равномерно вдоль цилиндра с плотностью . Тогда поле будет радиально симметричным в области, для которой Напряженность поля будет равна радиус-вектор в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра). На больших расстояниях энергией поля можно пренебречь.

Поэтому приближенно (с логарифмической точностью)

Откуда согласно (89.05)

что совпадает с результатом задачи 4 § 86.