§ 57. Реакция поля, действующая на ускоренно, но медленно движущийся заряд

Ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитное поле. Вследствие потери энергии на излучение кинетическая энергия заряда должна уменьшаться. Чтобы правильно учесть сохранение энергии и импульса, необходимо учесть реакцию собственного поля заряда на его движение.

Согласно (14.10) и (18.05) законы сохранения энергии и импульса частицы и ее поля можно написать в форме

где соответственно энергия и импульс частицы, и те же величины для поля, внешняя сила, действующая на частицу, ее мощность,

— соответственно поток энергии и импульса поля в единицу времени. Таким образом,

есть сила реакции, с которой собственное поле заряда действует на заряд. Эта сила самодействия заряда включает силу инерции электромагнитного происхождения и реакцию излучения. Величина

есть мощность реакции поля.

Для ускоренно, но медленно движущегося заряда из (56.06) и (56.07) получим

Величину можно рассматривать как электромагнитную силу инерции, действующую на ускоренно движущийся заряд. Тогда есть работа этой силы в единицу времени.

Вычисление реакции излучения значительно труднее. Проще всего, следуя Планку, подобрать так, чтобы выполнялось сохранение энергии.

Упростим уравнение сохранения энергии (57.01). Допустим, что движение частицы периодическое и для моментов состояния движения заряда одинаковы (работа внешних сил компенсирует потерю энергии на излучение или энергией, излучаемой за период, можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией заряда). В силу периодичности, энергии заряда и поля также будут одинаковыми в моменты Поэтому работа, произведенная силой в течение периода должна быть равна излученной за это время энергии.

Энергия, испускаемая в единицу времени, по (50.02) равна

Поэтому

Интегрируя по частям правую часть, получим

Последнее соотношение будет удовлетворено, если допустить, что в каждый момент времени

Формула (57.07) дает искомую силу реакции излучения при периодическом движении заряда (при которая пропорциональна производной по времени от ускорения частицы.

Рассмотренный вывод (57.07) правомерен при условии, что сила реакции мала по сравнению с внешними силами. Для гармонически колеблющейся частицы это условие будет выполнено при не слишком высоких частотах. Если положить то квазиупругая сила а реакция излучения

Условие малости дает или, вводя длину волны излучения

Таким образом, выражение (57.07) справедливо для волн, длина которых значительно превышает классический радиус электрона. Последнее выполняется для всех известных родов электромагнитного излучения, за исключением самых коротковолновых.

В силу (57.01) и (57.07) уравнение движения заряда под действием внешней силы можно написать в форме

где наблюдаемая масса, включающая в себя согласно § 56 электромагнитную массу.

Уравнение Лоренца (57.10) применимо при условии (57.09). Но при выводе (57.10) были сделаны предположения, из-за которых это уравнение, строго говоря, не применимо ни к точечному, ни к протяженному заряду. В случае протяженного заряда исходное выражение (50.03) недостаточно — необходимо учитывать высшие члены разложения радиационного поля. Последние приведут к добавочным членам реакции излучения, содержащим высшие производные ускорения по времени. Такие члены существенно зависят от структуры заряда и вряд ли могут иметь физический смысл.

В случае точечного заряда не зависит от размеров заряда, но электромагнитная масса оказывается бесконечно большой. Поэтому необходимо предположить, что неэлектромагнитная масса заряда принимает бесконечно большое отрицательное значение, чтобы

наблюдаемая масса была конечной. При этом предположении уравнение (57.10) можно было бы считать точным. Однако уравнение (57.10) третьего порядка. Общий интеграл его содержит девять произвольных постоянных и, чтобы определить движение, надо задавать три начальных условия: при Но это, вообще говоря, противоречит механике, требующей задания только Противоречие с классической механикой выступает более явно, если заметить, что при отсутствии внешних сил (57.10), кроме решения, удовлетворяющего закону инерции, имеются решения, не удовлетворяющие ему. Таким образом, уравнение Лоренца имеет большее число решений, нежели это необходимо для описания движения.

Решения уравнения (57.10) можно разделить на «физические», имеющие физический смысл, и «нефизические», не имеющие его. Формально нефизические решения можно устранить соответствующим подбором постоянных интегрирования. В качестве примера рассмотрим движение заряда вдоль оси при отсутствии внешних сил. В этом случае решение (57.10) имеет вид

Если то есть ускорение в начальный момент было отлично от нуля (например, для имелась сила, которая исчезла при то скорость и ускорение с течением времени будут неограниченно расти. Это противоречит закону инерции. Следовательно, физическими решениями будут лишь те, для которых Формальное устранение нефизических решений уравнения Лоренца оставляет чувство неудовлетворенности: уравнения, адекватно отражающие явления природы, не должны иметь абсурдных решений. Можно думать, что нефизические решения обусловлены бесконечной электромагнитной собственной массой точечной частицы. Конечная масса получена в результате вычитания двух бесконечностей и что математически не вполне корректно. Поэтому уравнение Лоренца следует применять с осторожностью.