§ 91. Метод электрических изображений
Общие методы решения уравнения Лапласа при данных граничных условиях рассматриваются в курсах математической физики. В некоторых случаях решение задачи можно получить при помощи более простых методов, основанных на теореме о единственности решения электростатической задачи (§ 87).
Рассмотрим метод электрических изображений. Этот метод сводится к подбору таких дополнительных точечных зарядов, которые вместе с заданными зарядами образуют поле, удовлетворяющее граничным условиям и уравнению Лапласа.
В качестве примера рассмотрим поле точечного заряда
в однородном изотропном диэлектрике. Пусть заряд находится в точке
на расстоянии а от бесконечной плоскости, образующей поверхность некоторого проводника (рис. 37). Пусть потенциал
равен нулю на поверхности проводника и в бесконечности (граничные условия).
Заряд
будет индуцировать на плоскости заряд
Чтобы удовлетворить граничному условию, введем электрическое изображение заряда фиктивный заряд
расположенный в точке
представляющий собой зеркальное отражение точки
в плоской поверхности проводника. Потенциал, создаваемый зарядом
и его изображением
в точке А в диэлектрике равен
где
расстояния точки А от точек
поверхности проводника
поэтому граничное условие выполнено. Кроме того, в бесконечности
во всех точках диэлектрика, кроме точки
Внутри проводника
В силу теоремы о единственности полученный потенциал дает искомое решение задачи.
Рис. 37.
Распределение заряда, индуцированного на граничной поверхности проводника, определяется формулой (86.03). Выбирая начало координат О в точке, делящей отрезок
пополам, а направление
за ось х, получим
(х, у, z - координаты точки наблюдения А). Тогда
Таким образом,
быстро убывает по мере удаления от точки О. Легко видеть, что полный индуцированный заряд равен
как и должно быть.
Заметим, что заряд
будет притягиваться к проводнику с силой
(сила изображения), а энергия взаимодействия заряда с поверхностью равна
Таким же образом можно решить задачу, если заряд
находится на расстоянии а от плоской границы раздела двух диэлектриков. В среде, где находится заряд
потенциал можно искать в форме суперпозиции потенциалов заряда
и фиктивного заряда
находящегося в точке
(зеркальном изображении
то есть