§ 91. Метод электрических изображений

Общие методы решения уравнения Лапласа при данных граничных условиях рассматриваются в курсах математической физики. В некоторых случаях решение задачи можно получить при помощи более простых методов, основанных на теореме о единственности решения электростатической задачи (§ 87).

Рассмотрим метод электрических изображений. Этот метод сводится к подбору таких дополнительных точечных зарядов, которые вместе с заданными зарядами образуют поле, удовлетворяющее граничным условиям и уравнению Лапласа.

В качестве примера рассмотрим поле точечного заряда в однородном изотропном диэлектрике. Пусть заряд находится в точке на расстоянии а от бесконечной плоскости, образующей поверхность некоторого проводника (рис. 37). Пусть потенциал равен нулю на поверхности проводника и в бесконечности (граничные условия).

Заряд будет индуцировать на плоскости заряд Чтобы удовлетворить граничному условию, введем электрическое изображение заряда фиктивный заряд расположенный в точке представляющий собой зеркальное отражение точки в плоской поверхности проводника. Потенциал, создаваемый зарядом и его изображением в точке А в диэлектрике равен

где расстояния точки А от точек поверхности проводника поэтому граничное условие выполнено. Кроме того, в бесконечности во всех точках диэлектрика, кроме точки Внутри проводника В силу теоремы о единственности полученный потенциал дает искомое решение задачи.

Рис. 37.

Распределение заряда, индуцированного на граничной поверхности проводника, определяется формулой (86.03). Выбирая начало координат О в точке, делящей отрезок пополам, а направление за ось х, получим

(х, у, z - координаты точки наблюдения А). Тогда

Таким образом, быстро убывает по мере удаления от точки О. Легко видеть, что полный индуцированный заряд равен как и должно быть.

Заметим, что заряд будет притягиваться к проводнику с силой (сила изображения), а энергия взаимодействия заряда с поверхностью равна

Таким же образом можно решить задачу, если заряд находится на расстоянии а от плоской границы раздела двух диэлектриков. В среде, где находится заряд потенциал можно искать в форме суперпозиции потенциалов заряда и фиктивного заряда находящегося в точке (зеркальном изображении то есть

Потенциал во второй среде ищется как потенциал, создаваемый некоторым фиктивным зарядом в точке

На границе раздела должны быть выполнены условия

Откуда

Решая эту систему относительно получим

Выше отмечалось, что в электростатике незаряженный проводник можно рассматривать как среду с бесконечной диэлектрической постоянной. Если положить в то получим Из (91.04) во второй среде и (91.03) превращается в (91.01).

Задача

1. Ось цилиндрического проводника радиуса а расположена параллельно проводящей поверхности на расстоянии от нее Заряд цилиндра на единицу длины равен Найти потенциал поля и емкость проводника.

Решение. Цилиндрический проводник можно заменить бесконечно тонкой прямолинейной нитью, расположенной параллельно плоскости на некотором расстоянии от плоскости. Тогда потенциал в точке , находящейся на расстоянии от нити и расстоянии от ее изображения в плоскости, равен

На плоскости с другой стороны поверхность цилиндра будет эквипотенциальной поверхностью, если Тогда потенциал цилиндра и емкость на единицу длины равны

2. Показать, что в предыдущей задаче при , где I — длина проводящего цилиндра емкость стремится к емкости уединенного цилиндрического провода (задача 1, § 89).