4.41. Уравнение для функции ...

В п. 4.23 мы доказали, что Отсюда, применяя формулу (9) п. 3.10, находим уравнение

Следовательно, воспользовавшись формулами (2), (4) п. 4.40, получаем уравнение

Так как то имеем следующее уравнение, которому удовлетворяет функция

Если движение установившееся, то это уравнение принимает вид

и, следовательно, векторы параллельны между собой.

Так как эти векторы соответственно перпендикулярны кривым то отсюда следует, что означает, что и следовательно,

где — функция, зависящая только от Этот результат также показывает, что в установившемся движении вихрь постоянен вдоль линии тока.

4.50. Уравнение для давления. Если мы положим (в обычных обозначениях)

то из уравнения движения

используя формулы (1), (3) п. 4.40, получаем уравнение

Это уравнение является уравнением движения, выраженным с помощью функции тока.

Пусть элемент дуги в точке кривой в плоскости движения и единичный вектор, направленный по касательной в точке Тогда, согласно п. 2.31, имеем равенство

Умножая скалярно уравнение (1) на получаем уравнение

Интегрирование вдоль дуги дает результат

где — произвольная функция времени

Это уравнение является уравнением для давления, выраженным через функцию тока. Второй интеграл в левой части уравнения равняется

где направленный элемент дуги. Это выражение представляет собой скорость изменения циркуляции по дуге Мы также видим, что тройное смешанное произведение равно

где единичная нормаль к дуге проведенная так, что векторы образуют правую систему координат. Таким образом, уравнение (2) можно также записать в виде

При установившемся движении члены, содержащие время, исчезают, и так как в соответствии с п. 4.41 является функцией только от мы можем написать уравнение

где С — абсолютная константа. Это — уравнение Бернулли в форме, показывающей зависимость его от отдельной выбранной линии тока.