ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 2. АФИННЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ

1. Определение тензора.

Пусть через обозначается точка в трехмерном евклидовом пространстве, а через — единичные векторы декартовой системы координат.

Рассмотрим две декартовы системы координат имеющие общее начало. Положение одной системы координат относительно другой задается таблицей направляющих косинусов

(очевидно, что

Среди девяти величин направляющих косинусов независимых только 3, так как имеют место шесть следующих соотношений:

Пусть а — некоторый вектор в смысле определения п. 2.10; тогда

где числа называются компонентами вектора а. Компоненты связаны между собой соотношениями:

Эти соотношения позволяют ввести новое определение вектора: вектором а называется тройка чисел определенная в любой декартовой системе координат таким образом, что при переходе от одной системы координат к другой числа преобразуются по формулам .

По аналогии с этим определением введем определение аффинного ортогонального тензора: тензором называется тройка векторов определенных в любой декартовой системе координат таким образом, что при переходе от одной системы координат к другой векторы преобразуются по формулам

Векторы называются векторными компонентами тензора Так как каждый вектор может быть представлен в виде

то тензор определяется матрицей

Числа называются скалярными компонентами тензора Пусть в любой системе координат определена матрица тогда имеет место следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы матрица определяла тензор, необходимо и достаточно, чтобы при переходе от одной системы координат к другой числа преобразовывались по формулам

Доказательство. Для доказательства необходимости предположим, что — тензор. Следовательно, его векторные компоненты преобразуются по формуле . Запишем вектор в системах координат

а вектор в системе координат

Согласно предположению, векторы связаны формулами , которые мы перепишем в виде

но поскольку вектор, то числа и связаны формулами

Таким образом,

Сравнивая множители при единичных векторах с одинаковыми индексами, получаем формулу (5.

Для доказательства достаточности следует выполнить указанные преобразования в обратном порядке.

Пример. Если в любой системе координат задана матрица в виде

то матрица I — тензор.

Доказательство этого утверждения предоставляем читателю. Матрица называется единичным тензором.

Пусть тензоры; тогда очевидно, что матрица также является тензором. На этом основании мы можем определить сумму двух тензоров аналогично сумме двух векторов: тензор называется суммой двух тензоров если его скалярные компоненты образованы по правилу

Симметричным тензором называется тензор, скалярные компоненты которого удовлетворяют условию

Антисимметричным, тензором называется тензор, у которого компоненты удовлетворяют условию

Легко видеть, что всякий тензор можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:

Если а — скаляр, то величина определяет тензор, компоненты которого имеют вид