14.84. Точная нелинейная теория волн постоянной формы.

Рассмотрим волну постоянной формы, движущуюся справа налево со скоростью с по поверхности бесконечно глубокой жидкости.

Предположим, что волна имеет вертикальную ось симметрии, проходящую через гребень С. Длина волны к есть расстояние, например, между двумя последовательными впадинами расположенными по обе стороны от гребня С (рис. 285).

Наложим на всю систему координат скорость с, направленную слева направо. В результате форма волны сделается неподвижной, а жидкость в этом движении (т. е. в системе координат, связанной с волной) окажется текущей слева направо с некоторой «средней» скоростью с.

Возьмем ось х в направлении этой «средней» скорости с и ось у направим вертикально вверх через гребень. Пусть высота волны, т. е. расстояние по вертикали от гребня до впадины.

Форма профиля свободной поверхности считается неизвестной. Отобразим этот неизвестный профиль на известную кривую — окружность единичного круга в плоскости

Рис. 285.

Если вертикали, проходящие через впадины, то будет удобно называть областью одной волны область, ограниченную этими вертикалями и профилем волны.

Отобразим область одной волны на внутреннюю часть единичного круга с разрезом вдоль некоторого радиуса. Мы утверждаем, что точка отобразится в центр единичного круга, а линии будут соответствовать радиусу который лежит вдоль действительной оси в плоскости Таким образом, если

то мы будем иметь на радиусе Тогда разрез расположится вдоль радиуса, противоположного радиусу Мы будем представлять себе края разреза находящимися на небольшом расстоянии друг от друга и образованными радиусом на котором и радиусом на котором

Тогда, если мы движемся по окружности единичного круга у, изменяя от до , т. е. следуя по линии в плоскости то точка будет описывать профиль волны и при переходе от величина х уменьшится на длину волны k. Это может быть достигнуто с помощью отображающей функции

Та же самая функция преобразует точку в точку Таким образом,

отображение можно осуществить с помощью формулы

где, как окажется, для получения симметричного профиля коэффициенты должны быть действительны. Далее, получаем

где

На свободной поверхности полагаем

Тогда из формулы (2) для точки на свободной поверхности имеем

и это доказывает симметрию относительно радиуса или оси так как х изменяет знак вместе с а у не изменяет знака. Это утверждение справедливо только в том случае, если все величины действительны. Далее, из формул (3) и (5) на свободной поверхности получаем

Теперь, если положить

где и действительны, то мы замечаем в силу формул (5), что и являются функциями от так что имеем

Кроме того, логарифмируя формулу (8), мы получаем в точке и следующее соотношение:

где

так что все величины действительны и известны, если известны величины Таким образом, находим

Для получения соотношения между можно использовать формулы (11) и (12) следующим образом. Из формулы (11) мы имеем

Но

Следовательно, получаем

Будет установлено, что формула (13) является ключом к решению нашей задачи. Отметим, что до этого момента мы изучали только свойства отображения. Рассмотрим теперь движение жидкости.

Если на поверхности положить то граничные условия примут

Всем этим условиям удовлетворяет комплексный потенциал

что дает Это выражение удовлетворяет условиям (14) и (15). Отсюда, а также из формулы (3) следует соотношение

При имеем так что условие (16) также удовлетворяется. Кроме того, из формул (18) и (8) следует, что на поверхности имеет место равенство

и, следовательно,

где — угол между вектором скорости и горизонталью.

На свободной поверхности давление постоянно, и, следовательно, теорема Бернулли дает или, учитывая (19), откуда после дифференцирования и применения формулы (7) находим

что можно записать в виде

Проинтегрировав это уравнение от до получим формулу

где - произвольная постоянная.

Сравнивая формулы (13) и (20), мы видим, что величину возможно исключить и, таким образом, получить уравнение для Чтобы сделать это, прологарифмируем обе части уравнения (20) и продифференцируем по Тогда получим

Подставляя это выражение в формулу (13), находим

Это — нелинейное интегральное уравнение для (наклона волны) как функции После решения этого уравнения величины находятся из уравнения (12), затем находятся величины из (10) и, наконец, профиль волны из уравнений (6).

Кроме того, если известны величины то, согласно формуле (4), известна функция следовательно, находим скорость в любой точке по формуле (18).

Таким образом, оказывается, что вся точная теория волн постоянной формы вытекает из решения нелинейного интегрального уравнения (21).

Чтобы найти кинетическую энергию, мы должны вычесть наложенную скорость с, так что в результате имеем

Но из уравнения (18) получаем Следовательно,

Теперь, если через обозначить соответственно элементы площади волны и единичного круга, то из уравнения (3) и п. 6.29 следует равенство

Следовательно, кинетическая энергия одной волны выражается в виде

Замечания.

(I) Соотношение (4) п. 14.58 и нелинейное условие Леви-Чивита на поверхности представляют собой постановку задачи для решения уравнения в частных производных. Задача, представленная нелинейным интегральным уравнением (21), совершенно отлична от указанной выше задачи для уравнения в частных производных в том смысле, что она является одной из тех, которые могут быть численно решены на современных быстродействующих вычислительных машинах.

(II) Указанная задача является задачей на собственные значения; действительно, можно показать, что решения, отличного от решения не существует при .

(III) Ядро интегрального уравнения (21) можно представить в виде

Это следует из того, что тождество

дает

Если здесь последовательно положить и результаты вычесть один из другого, то получим

(IV) Обозначив ядро через мы можем записать уравнение (21) в виде

Для простоты здесь рассматривался случай бесконечной глубины. В случае конечной глубины следует поступать аналогично, отображая

одну волну на кольцевую область, заключенную между двумя концентрическими окружностями и имеющую разрез вдоль радиуса. Это приводит к уравнению типа (24), но с ядром, зависящим теперь не от синуса, а от функции Вейерштрасса .

(V) Если в уравнении (21) написать

и положить

то, приравнивая члены при одинаковых степенях в левой и правой частях уравнения, получим бесконечную систему интегральных уравнений для функций которую можно решать последовательно.

Учитывая члены, содержащие мы получаем сходящийся процесс при что приводит к следующему соотношению:

(VI) Из соотношения (25) видно, что если величиной и более высокими степенями можно пренебречь, то решение уравнения (21) имеет вид где — малая постоянная величина.

(VII) Комбинация формул (11) и (20) дает соотношение

где выражение, стоящее справа, никогда не обращается в нуль. Следовательно, выражение, стоящее слева, также никогда не равно нулю, будучи положительным при Заметим, кроме того, что величину можно получить из уравнения (26).

(VIII) Если в соотношении (26) положить то сразу получаем, что является положительным числом.

(IX) Из уравнения (21) следует, что

Поэтому достаточно знать величину в интервале таким образом, уравнение (21) можно заменить следующим уравнением:

что упрощает численные расчеты.

(X) В синусоидальной волне форма профиля вблизи гребня подобна форме профиля вблизи впадины. Так как в силу уравнения то это свойство не сохраняется для волны, определяемой точной теорией [см. формулу (4) п. 18.65].

(XI) Поскольку уравнение (21) не линейно, мы не можем складывать решения.