13.50. Вихрь внутри или вне кругового цилиндра.

Пусть вне цилиндра в точке существует вихрь интенсивности х. Если движение жидкости происходит только вследствие этого вихря, то в силу теоремы об окружности мы имеем следующее выражение для комплексного потенциала течения:

которое с точностью до несущественной постоянной эквивалентно выражению

Отсюда следует (ср. п. 8.61), что система отраженных вихрей состоит из вихря интенсивности в точке, сопряженной с данной относительно окружности, и вихря интенсивности х в центре этой окружности.

Если к сумме (1) прибавить член не зависящий от то комплексный потенциал течения примет вид

где функция тока постоянна на границе цилиндра и выражается формулой Отсюда следует

Теперь ясно, что функция обладает свойством симметрии

которое означает, что функция не изменяется при перемене местами пар переменных. Теперь запишем

Функция обладает следующими свойствами:

(1) Функция является гармонической функцией переменных не имеющей особенностей в точке или в любой точке области, занятой жидкостью.

(II) Функция обладает свойством симметрии

Далее,

где индекс 1 означает, что после дифференцирования нужно положить Из свойства (II) следует равенство

Этот результат является основным для настоящей задачи. Он получается непосредственно из свойства В нашем случае из формулы (5) находим

Дифференцированием формул (5) и (8) легко показать, что эта функция удовлетворяет условию (7).

Теперь наложим на течение, индуцированное вихрем около цилиндра, некоторое другое течение, функция тока которого постоянна на границе цилиндра и не имеет особенности в точке (таким течением может быть, например, некоторый равномерный поток или циркуляция вокруг цилиндра). Функция тока полученного таким образом течения имеет вид

Чтобы определить комплексную скорость вихря, мы воспользуемся принципом, установленным в п. 13.22; для этого образуем функцию

т. е. вычтем функцию тока вихря, действующего в безграничной жидкости. Тогда комплексная скорость вихря получится в виде (см. п. 13.22)

Далее, из формул (5) и (9) следует равенство

Отсюда находим комплексную скорость вихря

где

Сравнивая формулы (10) и (12), мы видим, что множитель х в последнем члене выражения для вследствие равенства (7) заменяется в последнем члене выражения для множителем Заметим также, что функция является функцией только величин и не зависит от величины Из формулы (11) мы получаем соотношения

функция называется функцией тока Рауса.

В частности, если вихрь в точке является единственной особенностью течения и если зависит от времени посредством величин

то вследствие соотношений (13) мы получим уравнение

Следовательно,

Это уравнение является уравнением траектории вихря (рис. 249).

В том случае, когда вихрь интенсивности х находится вне цилиндра, а на цилиндр наложена циркуляция х, функция тока где

Рис. 249.

Рис. 250.

Из формулы (8) следует, что где Тогда траектория вихря определяется формулой

откуда следует, что радиус остается постоянным и вихрь описывает окружность, концентрическую с цилиндром, со скоростью

Если вихрь находится внутри цилиндра, то функция, определенная формулой (8), оказывается непригодной, так как она имеет особенность в области течения в точке Однако и в этом случае комплексный потенциал можно получить из теоремы об окружности; он имеет вид

Положим тогда мы получим течение, показанное на рис. 250, комплексный потенциал которого равен

Мы теперь видим, что функция обладающая свойством симметрии, должна иметь вид

Отсюда следует равенство

Таким образом, траектория вихря задается уравнением

откуда следует, что вихрь снова описывает концентрическую окружность со скоростью Из наших рассуждений видно, что отражением

внутреннего вихря интенсивности х является вихрь интенсивности сопряженный с ним относительно окружности, и циркуляция вокруг цилиндра интенсивности

В качестве последнего примера рассмотрим вихрь интенсивности х, находящийся в точке вне цилиндра, который обтекается равномерным потоком, комплексный потенциал которого равен На цилиндр наложена циркуляция интенсивности х. Если обозначить через полярные координаты вихря, то мы получим

Траектория вихря определяется формулой

Если на течение, индуцированное вихрями интенсивности х, в точках наложить поток с функцией тока то вследствие формулы (9) функция тока полученного течения примет вид

где суммирование производится по от 1 до Составим выражения

в которых суммирование проводится по от 1 до

Тогда из формулы (11) следует, что комплексная скорость вихря в точке 2, равна где

Таким образом, функция (20) вполне аналогична функции из п. 13.24 и остается постоянной во все время движения, если не зависит явно от времени. Функция была найдена для внешности круга в виде (5) и для внутренности круга в виде (15). Если же граница области движения не является окружностью, то конформным отображением области движения на внутренность или внешность круга эту задачу можно свести к одной из рассмотренных здесь задач. Выражение для функции в новых переменных, полученных из старых конформным отображением, получается с помощью формул (4) и (5) п. 13.60.

Рис. 251.