6.30. Преобразование Жуковского.

Преобразование

является одним из самых простых и наиболее важных преобразовании двумерных течений жидкости. С помощью этого преобразования мы можем отобразить плоскость на плоскость и наоборот.

Мы начнем с замечания, что при больших значениях мы имеем приближенное равенство так что окрестности бесконечно удаленных точек обеих плоскостей переходят друг в друга без изменений.

Рис. 110.

Таким образом, однородный поток на бесконечности в плоскости соответствует однородному потоку того же направления и той же скорости в плоскости

Теперь рассмотрим, как преобразуется окружность с центром в начале координат в плоскости при преобразовании Жуковского.

Сначала заметим, что точкам в плоскости с координатами с соответствуют точки в плоскости с координатами (рис. 110).

Пусть точка плоскости соответствует точке лежащей на окружности в плоскости предположим, что Тогда преобразование Жуковского дает нам следующие равенства:

Отсюда

и следовательно,

Но так как является медианой треугольника то

и. следовательно,

откуда следует, что точка описывает эллипс, фокусы которого находятся в точках а большая ось равна .

Далее, если обозначить через В конец малой полуоси этого эллипса, а через С — его центр, то можно написать равенство

Следовательно, полуоси эллипса равны соответственно

Итак, концентрические окружности с центрами в начале координат в плоскости отображаются в софокусные эллипсы в плоскости

В частности, если мы возьмем то окружность а перейдет в прямую линию соединяющую фокусы, так как малая полуось соответствующего эллипса равна нулю и

Этот результат легко получить и аналитически. Для любой точки на окружности следовательно,

Рис. 111.

Отсюда следует, что когда угол принимает значения принимает значения ; когда точка описывает полуокружность точка описывает прямую а когда точка завершает окружность, описывая дугу точка движется в обратном направлении по прямой (рис. 111).

Теперь рассмотрим обратное преобразование, при котором задается в зависимости от Из формулы (1) получаем

Знак плюс перед квадратным корнем означает, что должна быть взята та ветвь функции — которая действительна и положительна, когда точка находится на действительной положительной оси вне эллипса. Когда величина велика, из формулы (2) получаем приближенные равенства или в зависимости от того, положительный или отрицательный знак берется перед корнем. Следовательно, если мы выберем знак плюс перед корнем, то функция (2) будет отображать точку, внешнюю по отношению к эллипсу в плоскости на точку, внешнюю по отношению к окружности в плоскости

Следовательно, преобразование

отображает внешность эллипса с полуосями в плоскости на внешность окружности радиуса в плоскости