1.40. Теорема Бернулли (специальная форма).

В установившемся движении жидкости величина

имеет постоянное значение в каждой точке одной и той же линии тока. Здесь соответственно давление, плотность, скорость; ускорение

силы тяжести и А — высота рассматриваемой точки над фиксированной горизонтальной плоскостью.

Доказательство. Рассмотрим струйку тока, ограниченную сечениями и с площадями , и пусть давление, скорость и высота в сечении в то время как соответствующие величины в сечении (рис. 6). Через короткий промежуток времени жидкость, которая находилась в объеме займет объем где

При движении жидкости из первого положения во второе будет совершена работа благодаря давлению на сечения и Эта работа расходуется на увеличение кинетической и потенциальной энергий жидкости.

Силы давления на стенки трубки не совершают работы, так как они перпендикулярны направлению перемещения жидкости.

Рис. 6.

Работа силы давления в сечении равна а работа сил давления в сечении равна Следовательно, полная работа сил давления равна разности

Жидкость получила кинетическую и потенциальную энергии за счет части жидкости, находящейся между сечениями и поэтому полное увеличение количества энергии равно сумме

Жидкость потеряла кинетическую и потенциальную энергии за счет части жидкости, заключенной между сечениями и т. е. уменьшение количества энергии равно сумме

Приравнивая величину приращения энергии совершенной работе, получаем уравнение

Согласно закону сохранения массы (см. п. 1.12), имеем Подставляя это равенство в предыдущее уравнение, получаем в результате уравнение

Поэтому

так что выражение имеет одинаковую величину в двух произвольных точках элементарной трубки тока, и поэтому оно одинаково во всех точках линии тока, в которую может быть стянута элементарная трубка тока.