17.52. Тело вращения.

Если тело обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, то полная кинетическая энергия, отнесенная к осям, являющимся линиями пересечения этих плоскостей симметрии, должна иметь вид

Действительно, при изменении знака любой составляющей скорости кинетическая энергия должна оставаться неизменной, поэтому члены, содержащие другие произведения составляющих скоростей, в это выражение не входят. Если тело является телом вращения относительно оси х, то кинетическая энергия не будет изменяться при перестановке или следовательно, Далее, если ось тела при движении всегда остается в плоскости х, у и вращение вокруг этой оси отсутствует, то Следовательно, в этом случае

Если внешние силы отсутствуют, то уравнения движения имеют вид

где — единичные векторы вдоль осей координат.

Так как внешние силы отсутствуют, то уравнение (1) п. 17.32 показывает, что составляющие импульса сохраняются постоянными.

Рис. 320.

В рассматриваемом случае составляющая к направлена перпендикулярно плоскости движения и поэтому импульс сводится к одной составляющей которая является скользящим вектором, направленным, скажем, вдоль линии Ох (рис. 320). Тогда

где — угол наклона линии с осью х, линия связана с телом и совпадает с осью х.

Из уравнений (1) следует, что

Положив получим

Если то это уравнение представляет собой уравнение движения маятника. Величина определяемая уравнением (4), будет периодической, так же как и величина 0, определяемая уравнением (3).

Если координаты центра тела, то по формулам (2) получим

При выводе последнего равенства использовано уравнение (3).

Уравнение (5) показывает, что величина х никогда не становится отрицательной; следовательно, центр тела движется только вперед и траектория его не имеет петель. Из уравнения (6) получим

Поскольку периодическая функция, то отсюда следует, что у также является периодической функцией; поэтому траектория центра тела представляет собой синусоиду. Последнее уравнение показывает также, что у пропорционально 0.

Здесь могут иметь место два основных случая в зависимости от того, совершает ли тело полное вращение или совершает колебания между двумя положениями, определяемыми равенствами Оба эти случая изображены на рис. 321.

Рис. 321.

В первом случае величина сохраняет свой знак, поэтому траектория не пересекает линии действия импульса. Когда же тело совершает колебания, то величина (а значит, величина ) обращается в нуль в крайних положениях и траектория располагается симметрично относительно линии действия импульса.