4.30. Функция тока.

Пусть при двумерном движении жидкости А — фиксированная точка в плоскости движения и пусть и две кривые в той же плоскости, соединяющие А с произвольной точкой (рис. 67). Предположим, что внутри области ограниченной этими кривыми, не имеется ни источников, ни стоков. Тогда условие неразрывности можно выразить в следующей форме.

Рис. 67.

Количество жидкости, втекающей за единицу времени в область справа налево через кривую равно количеству жидкости, вытекающей за единицу времени через кривую справа налево.

Мы используем принятый термин поток для указанного количества жидкости и будем предполагать, что при этом поток положителен, если течение происходит справа налево. Понятие «справа налево» относится к наблюдателю, движущемуся вдоль кривой от фиксированной точки А в направлении, по которому дуга кривой измеряемая от А, увеличивается.

Таким образом, поток сквозь дугу равен потоку через любую кривую, соединяющую

Поскольку основная точка А фиксирована, то поток зависит, следовательно, только от положения точки и от времени Если мы обозначим

этот поток через то является функцией положения точки и времени. Например, в прямоугольных координатах

Функция называется функцией тока.

Существование этой функции является только следствием предположений о непрерывности и несжимаемости жидкости. Таким образом, функция тока существует также и для вязкой жидкости.

Теперь возьмем две точки и пусть и соответствующие значения функции тока (рис. 68). Тогда, по тому же принципу, поток через больше потока через на величину потока через дугу Следовательно, поток через равен Отсюда следует, что если мы возьмем другую исходную точку, скажем А, то функция тока будет изменяться только за счет потока через дугу

Кроме того, если точки той же линии тока, то поток через равен потоку через линию тока, на которой лежат точки Таким образом, Следовательно, функция тока постоянна вдоль линии тока.

Поэтому уравнения линий тока получаются из уравнения если давать константе с произвольные значения.

При установившемся движении положения линий тока являются фиксированными. При неустановившемся движении положение их меняется в разные моменты времени.

Применяя обозначения для размерностей длины и времени, размерность функции тока представляется в виде