17.60. Уравнения Лагранжа.

Положение динамической системы считается известным, если известны координаты каждой точки этой системы, или если их по крайней мере можно определить по каким-либо другим известным величинам. Такими координатами могут быть обычные декартовы координаты х, у, z или любые другие величины, через которые можно выразить координаты.

Например, в случае волчка, вращающегося в поле силы тяжести около фиксированной точки своей оси, достаточно знать угол наклона оси волчка к вертикали и угол , который вертикальная плоскость, проходящая через эту ось, образует с некоторой неподвижной вертикальной плоскостью. Если заданы как функции времени и если заданы положение волчка и его движение в начальный момент времени, то можно определить положение любой точки волчка в любой момент времени Величины называются обобщенными координатами.

Развивая дальше эту идею, мы можем считать, что положение любой заданной динамической системы определяется некоторым числом обобщенных координат

Если радиус-вектор каждой точки системы задан явно с помощью соотношения вида

то говорят, что такая система является голономной. Отсюда непосредственно следует, что скорость определяется равенством

где индекс обозначает суммирование от до и где

Отсюда в силу равенства (2) имеем

Для неголономной системы равенство (2) также выполняется, но при этом, однако, соотношения (3) не имеют места; поэтому вместо уравнения (1) получается уравнение не являющееся уравнением в полных дифференциалах; таким образом, для неголономных систем, уравнение (4) больше не имеет места.

Рассмотрим теперь систему из нескольких тел движущуюся в невязкой жидкости которая может быть как неограниченной, так и ограниченной

неподвижной замкнутой поверхностью Мы будем предполагать, что эти тела образуют голономную систему и что движение жидкости полностью обусловлено движением тел, и это движение мгновенно прекратится, если все тела одновременно придут в состояние покоя. Тогда движение жидкости будет безвихревым и ациклическим.

Мы не можем, однако, предполагать, что жидкость представляет собой голономную систему. Поэтому если тела системы движутся циклически, т. е. каждое тело возвращается к своему первоначальному положению, то нельзя утверждать, что каждая частица жидкости при этом также вернется в свое первоначальное положение Действительно, можно построить примеры, которые, оказывается, приводят к противоположному заключению. Таким образом, мы не можем предполагать, что уравнение (1) будет иметь место и для частиц жидкости.

На поверхности тела имеется условие

где потенциал скорости, нормальная составляющая скорости на поверхности тела. На поверхности имеем По предположению является линейной функцией обобщенных скоростей поэтому уравнение Лапласа и граничные условия (5) единственным образом определяют как линейную функцию обобщенных скоростей. Следовательно, можно записать

где представляют собой функции обобщенных координат (но не скоростей) и удовлетворяют уравнению Лапласа. Тогда если вычислить градиент этого потенциала, то можно увидеть, что равенство (2) будет иметь место также и для жидкости.

Рассмотрим теперь работу, совершаемую в единицу времени всеми силами системы в некотором ее виртуальном движении, в котором обобщенные виртуальные скорости (мы будем обозначать их через являются геометрически возможными скоростями. Тогда для точек тела имеем соотношение

а для движения жидкости

Для краткости мы будем называть работу, совершаемую любой системой сил в единицу времени, мощностью этих сил и будем обозначать ее для виртуальных перемещений через

Рассмотрим пока только движение тел системы. Если является суммарной внутренней и внешней силой, приложенной в точке к отдельной частице системы массы то виртуальная мощность сил, действующих на все тела системы, выразится с помощью соотношения (7) следующим образом:

где

есть обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате Уравнение движения частицы, находящейся в точке имеет вид следовательно, из формулы (10) получаем

Теперь мы воспользуемся свойством (4) голономной системы. Заменяя на и замечая, что кинетическая энергия тела равна

получим уравнения Лагранжа для тел системы, а именно

Рассмотрим теперь движение жидкости. Чтобы избежать недоразумений с обобщенными координатами, будем обозначать скорость жидкости через вместо обычного обозначения Тогда, используя равенство (6), получим

следовательно,

Кинетическая энергия жидкости равна

и, следовательно, в силу уравнения (13) имеем

где интегралы берутся по всему объему, занятому жидкостью. В силу соотношения (8) при виртуальном движении жидкости виртуальная скорость запишется в виде

Поскольку операторы являются независимыми, то из уравнений (12) и (15) следует, что

Пусть представляет собой полную силу (включая силу давления), отнесенную к единице массы и действующую на частицу жидкости. Тогда уравнение движения имеет вид

а виртуальная мощность сил, действующих на жидкость, равна

где

Используя равенства (14), рассмотрим теперь следующее соотношение:

Применяя к этому соотношению оператор получим

Но в силу формулы (16)

Комбинируя последнее равенство вместе с уравнениями (17), (18) и (20), получим

Поскольку величины являются независимыми, то мы можем последовательно положить их все, за исключением одной, равными нулю.

Таким образом, мы получим уравнения движения для жидкости, а именно

Если положить и сложить формулы (11) и (21), то получим

где

Эти уравнения представляют собой уравнения Лагранжа для всей системы, состоящей из твердых тел и жидкости.

Обобщенные силы представляют собой коэффициенты, стоящие перед величинами в выражении для виртуальной мощности которое получается комбинацией формул (9) и (18). Единственными силами, которые надо учитывать в этом выражении для виртуальной мощности, являются внешние силы системы (третий закон Ньютона), а из других сил здесь

надо принимать во внимание только силы давления, действующие на неподвижную поверхность Однако эти последние силы не совершают работы, поскольку нормальная составляющая скорости на поверхности обращается в нуль. Таким образом, при вычислении обобщенных сил в формуле (23) величины можно рассматривать как внешние силы, действующие на твердые тела и жидкость. При отсутствии внешних сил величины должны равняться нулю.