20.61. Ударная поляра.

Скорость набегающего потока представим в плоскости годографа отрезком оси и (рис. 360). Из точки О проведем также вектор представляющий собой скорость потока (составляющие которой равны ), прошедшего через скачок и отклонившегося на угол .

Рис. 360.

Геометрическое место точек называется ударной полярой, соответствующей скорости

В обозначениях, указанных на рис. 360, имеем

Подставляя эти величины в уравнение (5) п. 20.60, получим

что вместе с формулой

определяет геометрическое место точек т. е. ударную поляру.

Исключение а из формул (1) и (2) непосредственно приводит к уравнению

Таким образом, ударная поляра представляет собой кривую третьего порядка (декартов лист, или гипоциссоиду), симметричную относительно оси и, которую она пересекает в точках (рис. 360) с координатами

Тогда

Следовательно, точки связаны между собой преобразованием инверсии относительно звуковой окружности Точки на поляре, находящиеся внутри этой окружности, соответствуют дозвуковому течению

за скачком. Если

то величина становится бесконечной и поэтому линия представляет собой асимптоту. Продолжим линию до пересечения с ударной полярой в точке Если теперь начальную скорость представить вектором то после перехода через скачок она уменьшится до величины, которая изображается вектором

Ударную поляру, соответствующую заданным значениям и можно построить точка за точкой следующим образом.

Нанесем точки определяемые формулами (4) и (6). Построим на линиях и как на диаметрах, окружности и (рис. 361). Соединим точку В с какой-нибудь точкой на окружности и пусть линия пересекает окружность в точке

Рис. 361.

Тогда точка являющаяся точкой пересечения линии и линии перпендикуляра к будет точкой ударной поляры. Доказательство этого утверждения мы предоставляем читателю в качестве упражнения.

Как пользоваться ударной полярой, видно по рис. 360. Предположим, что ударная поляра нам задана. Направление скачка, который отклоняет поток на угол получим, проводя нормаль к линии здесь точка представляет собой точку, где прямая линия, проходящая через О и составляющая угол с направлением набегающего потока, пересекает ударную поляру. Из этого построения получается также скорость Поскольку линия пересекает ударную поляру еще в одной точке то возможен еще второй скачок, направление которого перпендикулярно к Однако эксперименты показывают, что для течения сжатия при обтекании излома или клина в действительности реализуется только один скачок, соответствующий точке Касательная к ударной поляре проведенная из точки О, определяет критический угол , при котором два возможных скачка уплотнения совпадают. Если то проведенное выше построение становится недействительным, и в этом случае перед клином образуется отошедшая криволинейная ударная волна (рис. 362).

Отметим, далее, что при т. е. когда точка стремится к двойной точке А на ударной поляре, скачок становится все более слабым и условия за ним приближаются к условиям непрерывного течения без скачка. Таким

образом, в этом случае направление скачка должно стремиться к направлению линии Маха. Следовательно, угол между касательными к ударной поляре в двойной точке А должен быть равен где угол Маха.

Рис. 362.

Рис. 363.

На рис. 363, принадлежащем Буземану, изображено семейство ударных поляр при Все поляры охватывают точку с и лежат внутри окружности, К которой они приближаются при Пунктиром здесь показаны кривые, на которых постоянна величина отношения давлений торможения за скачком уплотнения и перед ним.