3. Теоремы о сохраняемости вихревых движений.

1) Теория сохраняемости вихревых движений была в очень изящной и законченной форме изложена ленинградским математиком А. А. Фридманом в книге «Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости», Эта теория основывается на одной теореме, имеющей весьма общий характер. Мы приводим здесь эти результаты, следуя изложению А. А. Фридмана.

Пусть движущаяся жидкость связана с некоторым векторным полем а, которое предполагается непрерывным и таким, что внутри жидкости нет точек, где

Рис. 2.

В процессе движения векторные линии векторного поля а изменяются. Будем говорить, что имеет место сохраняемость векторных линий, если эти линии состоят все время из одних и тех же жидких частиц. Если, кроме того, интенсивность векторных трубок поля а во времени не изменяется, то будем говорить о сохранении интенсивности трубок.

Теорема Фридмана. Для сохраняемости векторных линий и векторных трубок векторного поля а необходимо и достаточно, чтобы векторное поле а удовлетворяло следующему условию:

где скорость частицы.

Выражение Фридман назвал гельмгольцианом векторного поля Таким образом, условие (8 можно записать еще и так:

Доказательство необходимости. Рассмотрим два положения элементарной векторной трубки (см. рис. 2 в моменты времени Обозначим через объем, занятый в момент времени теми частицами жидкости, которые в момент времени занимали объем

Масса жидкости в объемах одинакова, т. е.

Используя условие сохранения интенсивности векторных трубок

исключим из равенства площадь поперечного сечения ; в результате

Здесь через обозначен некоторый скаляр.

Так как векторы и а коллинеарны, то это равенство можно переписать в векторной форме

откуда

Но

поэтому равенство окончательно можно переписать в виде

Принимая во внимание уравнение неразрывности

и проводя дифференцирование в левой части уравнения , получаем условие .

Доказательство достаточности. Предположим теперь, что векторное поле а удовлетворяет уравнению . Построим новое векторное поле таким образом, чтобы в начальный момент оба поля совпадали и таким образом, чтобы векторное поле удовлетворяло условиям сохраняемости; тогда векторное поле также будет удовлетворять уравнению :

Таким образом, вектор-функции решают одну и ту же задачу Коши для уравнения . В силу теоремы Коши — Ковалевской эти вектор-функции тождественны, что и требовалось доказать. Пусть теперь поле а есть поле вихрей

В этом случае условие запишется в виде

2) Выведем теперь уравнение Гельмгольца. Для этого к уравнению движения

применим операцию вихря. Тогда после несложных выкладок мы получим следующее уравнение:

Полученное уравнение носит название уравнения Гельмгольца.

На основании теоремы Фридмана мы можем утверждать, что для сохраняемости вихрей необходимо и достаточно, чтобы правая часть уравнения Гельмгольца обратилась в нуль. Отсюда, как следствие, получается теорема Гельмгольца.

Теорема Гельмгольца. Если массовые силы консервативны, т. е. если и течение жидкости баротропно, то вихревые линии и интенсивность вихревых трубок обладают свойством сохраняемости.

В самом деле, в этом случае

3) Если жидкость несжимаема, то в случае консервативных сил уравнение Гельмгольца принимает вид

В частном случае, когда движение плоское, т. е. в случае, когда отсюда следует, что т. е. вихрь в данной частице не изменяется со временем.