§ 129. Дифракция Фраунгофера от щели

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна (рис. 129.1). Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы — экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова. Поэтому достаточно исследовать характер картины в одной такой плоскости, например в плоскости рис. 129.1. Все вводимые в дальнейшем величины, в частности угол , образуемый лучом с оптической осью линзы, относятся к этой плоскости.

Рис. 129.1.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны ширины Вторичные волны, посылаемые зонами в направлении, определяемом углом <р, соберутся в точке экрана Р. Каждая элементарная зона создаст в точке Р колебание dE. Линза собирает в фокальной плоскости плоские (а не сферические) волны.

Поэтому множитель в выражении (126.1) для dE в случае дифракции Фраунгофера будет отсутствовать. Ограничившись рассмотрением не слишком больших углов , можно коэффициент К в формуле (126.1) считать постоянным. Тогда амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в любой точке экрана, будет зависеть только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны Следовательно, амплитуда колебания dE, возбуждаемого зоной ширины в любой точке экрана, имеет вид

где С — константа.

Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, возбуждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами, через Ее можно найти, проинтегрировав по всей ширине щели

Отсюда и, следовательно,

Теперь определим фазовые соотношения между колебаниями dE. Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке Р элементарными зонами с координатами О и (рис. 129.1). Оптические пути ОР и QP таутохронны (см рис. 117.2). Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути А, равном ). Если начальную фазу колебания, возбуждаемого в точке Р элементарной зоной, находящейся в середине щели (х=0), положить равной нулю, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой х, будет равна

(к — длина волны в данной среде).

Таким образом, колебание, возбуждаемое элементарной зоной с координатой х в точке Р (положение которой определяется углом ), может быть представлено в виде

(129.1)

(имеется в виду вещественная часть этого выражения).

Проинтегрировав выражение (129.1) по всей ширине щели, найдем результирующее колебание, возбуждаемое в точке Р открываемым щелью участком волновой поверхности:

Вынесем множители, не зависящие от х, за знак интеграла. Кроме того, введем обозначение

(129.2)

В результате получим

Выражение в фигурных скобках определяет комплексную амплитуду А у результирующего колебания. Приняв во внимание, что разность экспонент, деленная на представляет собой можно написать

(129.3)

(мы подставили значение (129.2) для ).

Выражение (129.3) является вещественным. Его модуль представляет собой обычную амплитуду результирующего колебания:

Для точки, лежащей против центра линзы, Подстановка этого значения в формулу (129.4) дает для амплитуды значение Этот результат можно получить более простым путем. При колебания от всех элементарных зон приходят в точку Р в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.

При значениях удовлетворяющих условию: случае, если

(129.5)

амплитуда обращается в нуль. Таким образом, условие (129.5) определяет положения минимумов интенсивности. Отметим, что бвтф представляет собой разность хода А лучей, идущих в точку Р от краев щели (см. рис. 129.1).

Условие (129.5) легко получить из следующих соображений. Если разность хода А от краев щели равна открытую часть волновой поверхности можно разбить на равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна (см. рис. 129.2, выполненный для ).

Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что результирующая амплитуда равна нулю. Если для точки Р разность хода А равна число зон будет нечетным, действие одной из них окажется некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, в соответствии с (129.4)

где — интенсивность в середине дифракционной картины (против центра линзы), — интенсивность в точке, положение которой определяется данным значением .

Из формулы (129.6) получается, что Это означает, что дифракционная картина симметрична относительно центра линзы. Заметим, что при смещении щели параллельно экрану (вдоль оси на рис. 129.1) дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против центра линзы). Напротив, смещение линзы при неподвижной щели сопровождается таким же смещением картины на экране.

График функции (129.6) изображен на рис. 129.3. По оси абсцисс отложены значения по оси ординат — интенсивность

Рис. 129.2.

Рис. 129.3.

Количество минимумов интенсивности определяется ртношением ширины щели к длине волны . Из условия (129.5) следует, что Модуль не может превысить единицу.

Поэтому откуда

При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.

Краям центрального максимума соответствуют значения угла <р, получающиеся из условия Эти значения равны Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна

(129.8)

В случае, когда значение можно положить равным . Тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается следующим образом:

(129.9)

Решим задачу о дифракции Фраунгофера от щели методом графического сложения амплитуд. Разобьем открытую часть волновой поверхности на очень узкие зоны одинаковой ширины. Колебание, возбуждаемое каждой такой зоной, имеет одинаковую амплитуду и отстает по фазе от предыдущего колебания на одну и ту же величину б, зависящую от угла , определяющего направление на точку наблюдения Р. При разность фаз б равна нулю и векторная диаграмма имеет вид, показанный на рис. 129.4, а. Амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Если колебания от краев щели находятся в протйвофазе. Соответственно векторы располагаются вдоль полуокружности длиной (рис. 129.4,6). Следовательно, результирующая амплитуда равна . В случае, когда колебания от краев щели отличаются по фазе на . Соответствующая векторная диаграмма изображена на рис. 129.4, в. Векторы располагаются вдоль окружности длиной . Результирующая амплитуда равна нулю — получается первый минимум. Первый максимум получается при . В этом случае колебания от краев щели отличаются по фазе на . Строя последовательно векторы , мы обойдем полтора раза окружность диаметра (рис. 129.4, г). Диаметр этой окружности и есть амплитуда первого максимума. Таким образом, интенсивность первого максимума равна . Аналогично можно найти и относительную интенсивность остальных максимумов. В итоге получится следующее соотношение:

(129.10)

Таким образом, центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредоточивается основная доля светового потока, проходящего через щель.

В случае, когда ширина щели очень мала по сравнению с расстоянием от щели до экрана, лучи, идущие в точку Р от краев щели, будут практически параллельными и в отсутствие линзы между щелью и экраном. Следовательно, при падении на щель плоской волны будет наблюдаться дифракция Фраунгофера. Все полученные выше формулы будут справедливыми, причем под в этих формулах следует понимать угол между направлением от любого края щели к точке Р и нормалью к плоскости щели.

Рис. 129.4.

Рис. 129.5.

Установим количественный критерий, позволяющий определить, какой вид дифракции будет иметь место в каждом конкретном случае. Найдем разность хода лучей от краев щели до точки Р (рис. 129.5). Применим теорему косинусов к треугольнику со сторонами

После несложных преобразований получим

Нас интересует случай, когда лучи, идущие от краев щели в точку Р, почти параллельны. При этом условии , поэтому в уравнении (129.11) можно пренебречь слагаемым . В этом приближении

(129.12)

В пределе при получается значение разности хода совпадающее с выражением, фигурирующим в формуле (129.5).

При конечных характер дифракционной картины будет определяться соотношением между разностью и длиной волны . Если

(129.13)

дифракционная картина будет практически такой, как в случае дифракции Фраунгофера. При — сравнимой с , будет иметь место дифракция Френеля.

Из (129.12) следует, что

— расстояние от щели до экрана). Подстановка этого выражения в (129.13) приводит к условию: или

(129.14)

Таким образом, характер дифракции зависит от значения безразмерного параметра

(129.15)

Если этот параметр много меньше единицы, наблюдается, дифракция Фраунгофера, если он порядка единицы — дифракция Френеля; наконец, если этот параметр много больше единицы, оказывается применимым приближение геометрической оптики. Для удобства сопоставления представим сказанное в следующем виде:

Параметру (129.15) можно дать наглядное истолкование. Возьмем точку Р, лежащую против середины щели (рис. 129.6). Для этой точки число открываемых щелью зон Френеля определяется соотношением

Раскрыв скобки и отбросив слагаемое, пропорциональное , получим

Таким образом, параметр (129.15) непосредственно связан с числом открытых зон Френеля (для точки, лежащей против середины щели).

Если щель открывает малую долю центральной зоны Френеля , наблюдается дифракция Фраунгофера. Распределение интенсивности в этом случае изображается кривой, приведенной на рис. 129.3. Если щель открывает небольшое число зон Френеля на экране получается изображение щели, обрамленное по краям отчетливо видимыми светлыми и темными полосами. Наконец, в случае, когда щель открывает большое число зон Френеля на экране получается равномерно освещенное изображение щели. Лишь у границ геометрической тени имеются практически неразличимые глазом очень узкие чередующиеся более светлые и более темные полосы.

Проследим за видоизменениями картины при удалении экрана от щели. При небольших расстояниях экрана от щели (когда изображение соответствует законам геометрической оптики. Увеличивая расстояние, мы придем сначала к френелевской дифракционной картине, которая затем перейдет во фраунгоферову картину. Та же последовательность превращений наблюдается в том случае, если, не изменяя расстояния l, уменьшать ширину щели

Из сказанного ясно, что критерием применимости геометрической оптики является не малость длины волны по сравнению с характерным размером преграды (например, шириной шелй), а значение параметра (129.15) (он должен быть много больше единицы). Пусть, например, оба отношения равны 100. В этом случае однако и, следовательно, будет наблюдаться отчетливо выраженная френелевская дифракция.