259. Понятие телесного угла.

При измерении угла между двумя лучами на плоскости удобно рассматривать данный угол как центральный угол некоторой дуги окружности единичного радиуса. Тогда длина этой дуги и дает радианную меру центрального угла. Полный угол получает при этом меру, равную . Нечто сходное приходится проделывать, когда мы хотим ввести меру объемного, телесного угла, т. е. меру, показывающую «широту раствора» конической поверхности (рис. 414), долю пространства, которое попадает внутрь такой поверхности, по сравнению с полным пространством (полным телесным углом).

При этом совсем не обязательно данный угол заключать в круговой конус: это может быть любой конус, или угол может быть многогранным (рис. 415). Для введения строгого понятия телесного угла возьмем сферу единичного радиуса с центром в вершине угла (рис. 416).

Рис. 415.

Рис. 416.

Рис. 417.

За меру телесного угла принимается площадь части поверхности сферы, лежащей внутри данного угла. Полный телесный угол измеряется всей площадью поверхности сферы, т. е. за его меру принимается Единицей телесного угла служит стерадиан.

Задача. Найти телесный угол, ограниченный конусом вращения с углом при вершине осевого сечения, равным 0 (рис. 417).

Решение. Проведем сферу единичного радиуса с центром в вершине конуса. Задача сводится к вычислению площади шапочки этой поверхности, лежащей внутри конической поверхности. Находим высоту стрелки соответствующего сегмента сферы:

Площадь искомой поверхности равна . Итак, телесный угол при вершине конуса измеряется числом

Если , то формула дает меру внешнего телесного угла. При получим полный телесный угол (внешний угол по отношению к конусу, превратившемуся в луч).

Упражнения

1. Найти объем и поверхность шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром, равным и.

2. Отношение объема шара к объему вписанного в него цилиндра равно 16/9. Определить угол между диагональю осевого сечения цилиндра и его осью.

3. Три параллельные плоскости рассекают диаметр шара на четыре равные части. Найти объемы частей шара, на которые он разбит этими плоскостями.

4. Каким должен быть угол наклона образующей к основанию конуса, чтобы площадь поверхности вписанного в него шара делилась окружностью, по которой шар касается конуса, в отношении