§ 11.4. Корреляционная функция

Начальный корреляционный момент двух значений случайной функции их взятых в моменты времени и носит название корреляционной (автокорреляционной) функции. Она может быть найдена аналогично (11.31) из выражения

где — двумерная плотность вероятности.

Иногда под корреляционной функцией понимают центральный корреляционный момент т. е.

В этом случае корреляционная функция (11.46) может быть представлена в виде суммы

Корреляционная функция является весьма универсальной характеристикой для случайного процесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени от предшествующего значения в момент времени Это есть мера связи между ними.

Рассмотрим основные свойства корреляционных функций.

1. Из определения корреляционной функции (11.46) и (11.47) следует свойство симметрии:

2. При корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины, — дисперсию:

3. Можно показать, что прибавление к случайным величинам произвольных неслучайных величин не меняет их корреляционных моментов и дисперсии. Поэтому корреляционная функция не изменится, если к случайной функции добавить произвольную неслучайную функцию. Это свойство не относится к функции , так как добавление неслучайных величин к случайным изменяет начальные моменты. В этом случае корреляционная функция будет равна сумме корреляционных функций случайной и неслучайной функций.

Иногда в рассмотрение вводится нормированная корреляционная функция

Аналогично корреляционной функции можно ввести понятие взаимной корреляционной функции для двух случайных величин

В случае тождественного равенства нулю взаимной корреляционной: функции случайные функции называют некоррелированными.

Если взаимная корреляционная функция отлична от нуля, то носят название коррелированных случайных функций.

В случае стационарности процесса корреляционные функции не будут зависеть от текущего значения времени и будут определяться только временным сдвигом

С учетом эргодичности стационарного процесса корреляционной функцией можно назвать среднее по времени от произведения или

Для стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины х в последующий момент времени от предшествующего значения в момент

Приведем основные свойства корреляционной функции стационарного процесса применительно к величине

1. Корреляционная функция является четной функцией, т. е. Это вытекает из самого определения корреляционной функции.

2. При корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины:

3. При корреляционная функция дает квадрат среднего значения случайной величины. Докажем это. На основании эргодической гипотезы

При величины и можно считать независимыми. Отсюда, принимая во внимание формулу (11.39) для независимых случайных величин, получим

4. Значение корреляционной функции при является ее наибольшим значением, т. е. имеет место неравенство Докажем это. Рассмотрим очевидное неравенство

Сделаем преобразование

Возьмем теперь среднее по времени от правой и левой частей. В результате получим:

откуда и вытекает следующее неравенство:

5. Значение корреляционной функции чаще всего будет тем меньше, чем больше промежутки времени так как связь между далеко отстоящими друг от друга значениями х будет обычно слабее.

6. Чем менее инерционен (более подвижен) объект наблюдения, тем быстрее убывает с увеличением т. Например, у самолета, как подвижной цели, связь между последующими и предыдущими положениями (при заданном будет тем меньше, чем он легче и маневреннее. Отсюда следует, что, чем быстрее убывает корреляционная функция, тем более высокие частоты будут присутствовать в случайном процессе.

Рис. 11.14.

На рис. 11.14 в качестве примера приведены две корреляционные функции и две соответствующие им реализации процесса при одинаковых среднеквадратичных значениях случайной величины. Второй процесс по сравнению с первым имеет более тонкую структуру, т. е. в нем присутствуют более высокие частоты.

Таким образом, при известной корреляционной функции легко определяются следующие вероятностные характеристики:

а) среднее значение (момент первого порядка)

б) среднеквадратичное значение (момент второго порядка)

в) дисперсия

г) среднеквадратичное отклонение

Рис. 11.15.

Корреляционную функцию можно найти на основании экспериментально снятой кривой случайного процесса при наличии достаточно длительной записи (рис. 11.15). Обработка имеющейся осциллограммы производится следующим образом. Весь интервал записи осциллограммы Т делится на равных частей, длительность которых составляет

Затем для различных значений находятся средние значения произведений ординат:

По этим значениям строится график корреляционной функции в зависимости от интервала или времени

Корреляционную функцию можно найти по результатам эксперимента также при помощи специальных приборов — корреляторов, которые автоматически вычисляют среднее произведение двух ординат осциллограммы, отстоящих друг от друга на расстояние .

Если найденная корреляционная функция содержит постоянную составляющую то, выделив ее, можно перейти к корреляционной функции в соответствии с (11.48), т. е.

Можно также ввести в рассмотрение нормированную корреляционную функцию

которая удобна тем, что всегда

Корреляционная функция для неслучайных (регулярных) функций времени тождественно равна нулю. Однако корреляционная функция может вычисляться и для неслучайных функций времени. Рассмотрим несколько примеров.

1. Для постоянной величины (например, для постоянного тока) корреляционная функция

2. Для гармонической функции

Появление в корреляционной функции члена вида указывает на наличие в случайном процессе скрытой периодичности, которая может не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи реализации случайного процесса.

3. Периодическая кривая, разлагаемая в ряд Фурье:

имеет на основании изложенного выше корреляционную функцию вида

Типичная корреляционная функция для стационарных случайных процессов при следовательно и при отсутствии скрытых периодичностей имеет вид

Иногда встречается корреляционная функция вида

Эти выражения часто используются для аппроксимации корреляционных функций, полученных в результате обработки экспериментальных данных.

Для стационарных случайных процессов используется также понятие взаимной корреляционной функции, вводимой при рассмотрении каких-либо двух процессов

Для взаимной корреляционной функции существует следующее соотношение:

Кроме того, можно показать, что

Взаимная корреляционная функция характеризует взаимную связь двух случайных процессов между собой в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени . Значение характеризует эту связь в один и тот же момент времени. Примером таких двух взаимосвязанных случайных процессов могут служить две координаты пространственного положения подвижной цели.

Для не связанных друг с другом случайных процессов для всех справедливо равенство . В связи с этим говорят, что процессы коррелированы или не коррелированы. Это означает наличие или отсутствие между ними статистической связи.

Аналогично предыдущему можно также ввести понятие нормированной взаимной корреляционной функции.