7.3.3. Силы Ван-дер-Ваальса на больших расстояниях

Вернемся к вопросу, который мы начали рассматривать в гл. 3, о поведении на больших расстояниях потенциала взаимодействия между поляризуемыми нейтральными системами. Наше обсуждение будет основываться на работах Файнберга и Сачера

Как мы убедились ранее, исходя из плотности феноменологического гамильтониана, можно вычислить энергию взаимодействия поляризуемой нейтральной частицы, которая описывается скалярным эрмитовым полем с медленно меняющимся электромагнитным полем. Этог гамильтониан записывается в виде

    (7.123)

Константы связи соотносятся с электрической и магнитной восприимчивостью таким образом, что покоящаяся частица вносит следующую добавку в энергию взаимодействия:

    (7.124)

Под рассматриваемой системой можно, например, подразумевать атом, внутренней структурой которого мы не интересуемся, за исключением параметров Отметим, что эти величины имеют размерность объема Чтобы определить статический потенциал взаимодействия между такими системами, поступим следующим образом. Предположим, что достаточно малы, так что можно в соответствии с золотым правилом Ферми отождествить борновский член амплитуды рассеяния в ниакоэнергетической области с фурье-образом потенциала и написать

    (7.125)

Здесь обозначает относительную скорость частиц а и b, q есть передаваемый импульс и таково, что

Пусть — полностью релятивистская амплитуда рассеяния, соответствующая в низшем порядке взаимодействию (7.123) (см. рис. 7.16). Рассмотрим пороговое поведение релятивистского сечения, т. е. предел

В этом пределе , где равна величине полного -импульса частиц а и b в системе центра масс. В результате получаем

Это означает, что вблизи порога можно написать:

где отождествляется с квадратом передаваемого релятивистского импульса , а квадрат энергии в системе центра масс берется равным

РИС. 7.16. Взаимодействие между нейтральными системами, обладающими электрической и магнитной восприимчивостью.

С помощью (7.123) можно вычислить амплитуду в приближении как предаавлено на диаграмме рис. 7.16, Это снова однопетлевая диаграмма с сильно» ультрафиолеювой расходимоаыо Размерность константы связи такова, что юорня, основанная на гамильтониане (7,123), неперенормируема. Тем не менее мы решили использовать ее лишь для феноменологического описания В любом порядке мы можем выполнить конечное число ультрафиолетовых вычитаний, не изменяя поведения потенциала V на больших расстояниях, которое мы намереваемся определить. Таким образом, мы можем достичь нашей цели Элементарное спаривание, которое необходимо для применения теории возмущений, имеет вид

До проведения каких-либо вычитаний правила Фейнмана дают амплитуду следующего вида

    (7.130)

Удобный способ провеои ультрафиолетовые вычитания, не изменяя поведения потенциала на больших расстояниях, основан на том факте, что для фиксированного значения амплитуда — аналитическая (и чисто мнимая) функция вдоль полуоси Разрез же вдоль вещественной оси возникает из-за реальной части амплитуды, а мы интересуемся только окрестностью Поэтому можно написать следующее соотношение:

где регулярна в окрестности произвольная положительная величина. Отсюда с помощью (7.126) и (7.128) получаем асимптотическое поведение потенциала в виде

Скоро мы увидим, что ведет себя как — для так что доминирующий вклад в V можно получить переходом к пределу в (7.132), т. е.

Остается вычислить А. Прежде всего заметим, что каждый знаменатель в (7 130) может быть расщеплен на два слагаемых по формула (здесь РР обозначает взятие интеграла в смысле главного значения) Введем сокращенное обозначение . С точностью до полинома d подынтегральное выражение в (7 130) имеет вид

Это, конечно, не что иное, как фурье-обраэ функции в конфигурационном пространстве, где — пропагатор Фейнмана. Тогда d действует на эту величину как полином, составленный из производных. Если бы вместо мы использовали произведение носитель которого самое большее сосредоточен при , то получили бы с помощью фурье-преобразования плохо определенный полином по импульсам, не дающий вклада в реальную часть . Следовательно, в нашем случае замена

дает нуль. Это означает, что мы можем вычесть из выписанного выше выражения комбинацию

где обозначает . В результате получаем

Отметим, что если имеют одинаковый знак, в противном случае и что -функции проектируют фотоны на массовую поверхность. При учитывая закон сохранения энергии-импульса мы можем сохранить только одну из двух возможностей: или Итак, мы имеем

Эти затянувшиеся рассуждения есть не что иное, как применение правила Куткоского (гл. 6) к данному конкретному случаю. Конечно, амплитуда

выраженная через это сходящаяся величина, а мы просто желаем узнать поведение ее основного вклада вблизи Вычислим сперва величину определяемую соотношением (7.130). Явная его запись несколько громоздка:

    (7.135)

С учетом того что нам надо подсчитать коэффициент при после интегрирования. Поэтому скалярные произведения, на которые умножается или могут быть заменены на . Положим

где является функцией только вблизи порога и выражается в виде

    (7-137)

Нам понадобится величина

    (7.138)

которую легко вычислить, зная, что ее след равен а также

    (7.139)

Формула (7.139) получается в пренебрежении всеми членами, ведущими себя как высшие степени и с использованием очевидных симметрий относительно замены . Чтобы получить пять коэффициентов а, b, с, d и e, используем следующие пять условий

1. При взятии частичного следа по индексам мы должны получить нуль (уравнение массовой поверхности), что приводит к равенствам

2. При взятии частичного следа по индексам мы получаем величину Уже вычисленную нами ранее; отсюда следует

3. Наконец, свертка с дает что приводит к соотношению

Решая эту систему, находим коэффициенты, которые понадобятся нам в дальнейшем:

Вблизи порога справедливо выражение

    (7.141)

Однако все произведения пропорциональны Например,

Поэтому при извлечении коэффициента при все члены, содержащие скалярные произведения q с внешним импульсом, можно отбросить. В частности, вклад последнего среднего значения равен величине

Таким образом, коэффициент А, определяемый из разложения равен

    (7.142)

Возвращаясь к выражению (7.133), мы получаем асимптотическое поведение потенциала Ван дер-Ваальса в виде

Закончим этот раздел кратким комментарием, касающимся связи между релятивистским потенциалом и обычным нерелятивистским потенциалом,

ведущим себя как в пренебрежении эффектами запаздывания. В нерелятивистском подходе учитываются только мгновенные кулоновские силы. В целях упрощения рассмотрим два атома водорода, расположенные на расстоянии друг от друга, электроны которых имеют координаты . Пренебрегая вместе со спинами принципом Паули, потенциал взаимодействия можно записать в виде

На больших расстояниях без учета угловой зависимости это выражение качественно можно представить в виде Однако именно из-за угловой зависимости вклад первого порядка теории возмущений исчезает (используется адиабатическое приближение). Во втором порядке мы получим отрицательный вклад следующего вида:

где — характерная энергия возбуждения атома. Подобным же образом получается (электрическая) восприимчивость а для любого атома, если рассмотреть взаимодействие во втором порядке; в результате

В итоге находим

Следовательно, мы можем ожидать, что формула, интерполирующая между зависимостями учитывает характерное время запаздывания Переход от одного режима к другому должен происходить на расстояниях порядка , где следует рассматривать как часть энергии ионизации. Для водорода эта величина составляет около боровских радиусов, В реалистической теории жидкостей это приводит к тому, что мы всегда можем пользоваться нерелятивистским приближением.