1.1.3. Электромагнитное взаимодействие точечной частицы

Четыре-вектор тока заряженной точечной частицы локализуется на ее пространственно-временной траектории . Следовательно,

здесь — сохраняющийся заряд . Ток j, как следует из (1.51), удовлетворяет уравнению непрерывности

Для объединенной системы частицы и поля мы просто складываем действия:

Любая заряженная частица является источником и, следова тельно, изменяет окружающее ее поле. В первом приближении мы пренебрежем этим эффектом и будем полагать, что определяется внешними условиями. Это позволит нам опустить вклад в (1 52). Заметим, что в данном случае мы принимаем точку зрения, противоположную той, которой следовали в начале нашего обсуждения Реальные связанные системы, будь то в классической или в квантовой механике, очевидно, трудны для изучения Более практично начать исследование с упрощенных моделей, а потом уже переходить к более реалистическим моделям. В разд. 1.3.2 мы кратко рассмотрим классическую связанную

систему. Таким образом, мы подошли к изучению движения частицы под действием данного внешнего поля. В этом случае функция Лагранжа имеет вид

Отсюда следует, что сопряженный импульс р отличается от импульса свободной частицы поскольку

Функция Гамильтона имеет вид

при этом уравнение движения принимает вид

Правая часть этого выражения есть не что иное, как сила Лоренца. Наконец, изменение энергии со временем равно

Это Хорошо известный результат, выражающий тот факт, что только электрические поля совершают работу. Уравнений (1.56) и (1.57) можно записать в более компактном виде

где - вектор скорости.

Читатель может убедиться, что применение вариационного принципа к действию приводит непосредственно к (1.58).

Рассмотрим три простых примера:

1. Движение в постоянном однородном поле

Пусть не зависит от х. Уравнения (1.56) и (1 57) сразу дают

Мы можем также непосредственно решить ковариантное уравнение (1 58) в матричной форме

Наконец, поучительно использовать спинорное представление. Сопоставим 4-вектору и матрицу 2x2:

где - матрицы Паули. Используя тождество перепишем (1.58) в виде

Отсюда следует, что

Если обозначает комплексный 3-вектор , мы получим

В системе отсчета, в которой и в том случае, когда , т. е. параметр а веществен, мы получаем следующие решения:

В предельном случае, когда мы находим

Заметим, что скорость нарастает быстрее в направлении . Если равно нулю, но то мы фактически можем определить систему, в которой либо Е, либо В равно нулю Если то частица движется по винтовой линии, ось которой параллельна вектору В, с постоянной угловой скоростью . Если В равно нулю и то траектория представляет собой «цепную» линию в плоскости с вогнутостью в направлении (в нерелятивистском пределе эта цепная линия сводится к параболе) (рис 1.1)

2 Гиромагнитное отношение Прецессия Томаса. Уравнение Баргманна — Мишеля — Телегди

В рассматриваемой классической картине введем понятия собственного магнитного момента и гиромагнитного отношения. С точки зрения последовательной теории это противоречивые понятия Мы будем трактовать их просто как полезный предельный случай полного квантового рассмотрения

Напомним, что элементарная пегля с током эквивалентна магнитному моменту , где - ток, а — вектор, нормальный к плоскости

петли и по величине равный ее площади. Если ток обусловлен движением нерелятивистского заряда по орбите, т. е. то магнитный момент дается выражением

где — орбитальный момент. Соответственно в случае однородной внешней магнитной индукции В часть функции Лагранжа, отвечающую взаимодействию, можно записать в виде

РИС. 1.1. Движение в постоянном однородном поле,

Из выражения для силы Лоренца

следует, что как угловой, так и магнитный моменты прецессируют вокруг направления магнитного поля с классической ларморовой частотой

В 1926 г. Уленбек и Гаудсмит для описания зеемановского расщепления ввели понятия спина электрона (собственного углового момента) и магнитного момента ; в современной терминологии спин 1/2) и g (приведенное гиромагнитное отношение), равное 2. К сожалению, это значение приводило к тому, что величина спин-орбитальной связи для электрона, движущегося в поле центрального потенциала, оказывалась в два раза больше значения, которое следовало из тонкой структуры спектра атома водорода. Предположим, что в системе покоя электрона

Если Е и В — поля в лабораторной системе координат, где электрон имеет скорость v, то из (1.35) следует . Следовательно, в приближении малых скоростей энергию магнитного взаимодействия спина можно записать в виде

Если принять, что электрическое поле атомного ядра определяется сферическим средним потенциала, т. е.

то для энергии U получаем следующее выражение:

Имеющаяся здесь неточность обусловлена, как впервые было показано Томасом, некорректным применением преобразований Лоренца к вращательному движению. Иными словами, при преобразовании Лоренца мы от лабораторной инерциальной системы переходим в систему, вращающуюся с угловой скоростью так что правильное выражение для энергии должно иметь вид

Это типично релятивистский эффект, который можно получить, рассматривая произведение двух однородных преобразований Лоренца, отвечающих скоростям — v и Здесь Как любое преобразование Лоренца, это произведение можно разложить на частное преобразование Лоренца, отвечающее скорости и задаваемое формулой

и трехмерное вращение

В рассматриваемом случае

Если , то этот эффект действительно уменьшает наполовину спин-орбитальную связь, что согласуется с наблюдениями. Теория Дирака (см. гл. 2) приводит естественным образом к этому значению g для электрона и мюона. Однако в случае других частиц со спином 1/2, таких, как протон или нейтрон в силу наличия внутренней структуры значения g существенно отличаются от 2.

Рассмотрим снова движение частицы со спином в постоянном магнитном поле при малых скоростях. Скорость прецессирует с угловой частотой в то время как для спина соответствующая частота равна Следовательно, относительная фаза за период равна Баргманн, Мишель, Телегди получили релятивистское описание классического движения спина для случая медленно меняющихся внешних полей.

Будем обозначать в системе покоя частицы спиновые степени свободы -вектором S В ковариантных обозначениях это пространственно-подобный -вектор SH, ортогональный скорости . Нам нужно обобщить уравнение справедливое в системе покоя, в которой Чтобы не нарушалось условие необходимо, чтобы выполнялось соотношение где точки обозначают производные по собственному времени. В мгновенной системе покоя имеем следовательно,

Чтобы записать это в произвольной системе координат, заметим, что сводится к в системе покоя. Поэтому искомое уравнение имеет вид

Отсюда ясно, что если то и и жестко связаны. В случае такое утверждение не справедливо. Таким образом, мы нашли метод, который позволяет измерять магнитную аномалию частицы

Определим в лабораторной системе с временной осью -вектор L, такой, что L направлен вдоль и и Далее, пусть М — единичный четыре-вектор в плоскости ортогональный и и L.

РИС. 1.2. а — система покоя частицы со спином S; б — движение в магнитном поле

Положим (рис. 1.2). выражения (1.71) находим уравнение движения для 0.

Записывая скалярное произведение в М и используя углов не получаем

Соотношение иводит и

    (1.73)

иди в явном виде

В случае чисто магнитного поля и чаетицы, вращающейся по круговой орбите с (собственной) ларморовой частотой смешанное произведение оказывается равным Таким образом,

За период получаем приращение

3. Движение в поле плоской волны

Наконец, мы изучим движение заряженной бесспиновой частицы в электромагнитном поле плоской волны, которую для простоты будем считать линейно-поляризованной. Волна характеризуется изотропным направляющим вектором Ф и поляризацией в. Эти два вектора таковы, что

Потенциал зависит от произвольной функции переменной

Из (1.76) следует, что тензор электромагнитного поля

удовлетворяет соотношениям

Следовательно, Поскольку классическое уравнение Лоренца

приводит к соотношению . Выбирая координаты таким образом, чтобы при мы имели можно написать

В уравнении (1.79) вместо можно использовать переменную ; тогда это уравнение запишется в виде

Умножая обе части на и интегрируя, приходим к выражению

которое можно подставить в правую часть последнего уравнения, В результате получаем

Интегрируя, имеем

Предполагая, что волна затухает при больших находим

Заметим, что здесь имеют место нелинейные эффекты (члены ).

В случае плоской монохроматической волны, например имеющей вид можно непосредственно вычислить

Действие записывается в виде

В последнем выражении мы использовали величину и определяемую формулой (1.82), в предположении, что на бесконечности обращается в нуль (напомним, что сохраняетсй). Из (1.84) можно получить сопряженный импульс в виде

Имеет смысл определить средние значения некоторых потенциалов таким образом, чтобы [например, если , где - периодическая функция, ]. Тогда из (1.85) получаем

При интерпретации полученной формулы необходимо соблюдать осторожность, поскольку мы имеем дело с анизотропным случаем вследствие того, что волна плоская. Однако из формулы (1.86) следует, что частица в сильном периодическом поле будет реагировать на внешние возмущения с большей инерцией.

Линейные ускорители дают типичные примеры такого движения электронов в распространяющейся волне.