1.2.2. Тензор энергии-импульса

В случае бесконечных систем будем предполагать, что лагранжиан зависит от пространственно-временных координат х лишь через поля и их производные. Следовательно, при трансляции мы имеем

Рассмотрим инфинитезимальное преобразование, зависящее от

После интегрирования по частям соответствующая вариация действия запишется в виде

Таким образом, мы получили обобщение наших предыдущих рассуждений относительно энергии-импульса в полностью локальной форме. Из равенства нулю для произвольной вариации можно сделать заключение, что поток энергии-импульса описывается каноническим тензором

удовлетворяющим закону сохранения

(Из этого рассмотрения мы видим, что индексы величины играют различную роль.) Отсюда следует, что четыре величины F, соответствующие полной энергии и трехмерному импульсу , т. е.

не зависят от времени, поскольку

при условии, что при больших аргументах поля достаточно быстро обращаются в нуль, т. е. нет утечки энергии или импульса в бесконечности.

Данный результат является типичной иллюстрацией теоремы Нётер. Эта теорема гласит, что инвариантности лагранжиана относительно любого однопараметрического преобразования соответствует локальный сохраняющийся «ток». Интегрирование четвертой компоненты этого гока по трехмерному пространству дает сохраняющийся заряд. В этом геометрическом рассмотрении инвариантность лагранжиана означает, что мы также допускаем возможное преобразование пространственно-временного аргумента, как, например, в (1.94). Кроме того, интеграл по трехмерному пространству, определяющий заряд, может быть заменен на интеграл по пространственно-подобной поверхности о с элементом поверхности что не изменяет результат; таким образом,

Разумеется, возможна ситуация, когда лагранжиан зависит также от координат в этом случае тождество (1.94) не справедливо и уравнение (1.98) заменяется на

    (1.101)

Это имеет место, если 3 представляет собой сумму инвариантной части и взаимодействия с внешними источниками имеющего вид . Тензор энергии-импульса, который определяется вкладом от и добавочным вкладом от записывается в виде

причем в соответствии с (1.101)

Последнее выражение можно переписать следующим образом:

    (1.103)

Эти два способа записи локальной вариации энергии и импульса различаются в зависимости от того, включена или нет в систему энергия взаимодействия .

Рассмотрим в качестве примера электромагнитное поле, взаимодействующее с внешним сохраняющимся током j. В этом случае лагранжиан дается выражением

    (1.104)

Тензор 0 калибровочно-неинвариантен, даже если ток равен нулю! При преобразовании имеем

    (1.106)

В отсутствие внешних источников дополнительный член является дивергенцией и не дает вклада в величину полной энергии-импульса, если на бесконечности поля обращаются в нуль.

Плотность энергии-импульса в принципе измеримая величина, и помимо всего она связана с гравитационным полем. Поэтому очень нежелательно, чтобы выражение для нее оказалось калибровочно-неинвариантным. Кроме того, антисимметричная часть тензора 0 не равна нулю:

    (1.107)

Нам известно, что уравнения движения не определяют полностью лагранжиан. Соответственно выражение для тензора энергии-импульса допускает некоторый произвол. Обозначим через сохраняющийся ток. Тогда заряд и локальный закон сохранения не изменяется, если преобразуется следующим образом:

    (1.108)

при условии, что

    (1.109)

Решение для этих ограничений записывается в виде

    (1.111)

где антисимметричен и зависит локально от полей, В самом деле, мы видим, что справедливо как равенство (1.109), так и (1.110), поскольку

    (1.112)

Возвращаясь к тензору энергии-импульса электромагнитного поля, мы видим, что к каноническому тензору можно добавить величину

    (1.113)

где антисимметричен по и зависит локальным образом от полей. Из рассмотрения калибровочной зависимости, в которой

    (1.114)

следует выражение для компенсирующего члена, а именно

    (1.115)

Таким образом, мы полагаем

    (1.116)

Используя уравнения Максвелла, получаем так что другое эквивалентное выражение для имеет вид

    (1.117)

В отсутствие источников эта плотность энергии-импульса характеризуется следующими свойствами: она калибровочно-инвариантна, сохраняется, симметрична и имеет след, равный нулю. При этом в соответствии с общей схемой в случае имеем

    (1.118)

Это можно записать также в виде

Таким образом, новый тензор имеет чисто электромагнитное происхождение. Плотность энергии положительна

а плотность импульса есть не что иное, как вектор Умова—Пойнтинга. Следовательно, мы получили известное соотношение

После этих преобразований тензор При наличии источников все еще калибровочно-неинвариантен. Это не должно вызывать удивления, поскольку система не замкнута Чтобы показать, что происходит в замкнутой системе при наличии источников, рассмотрим систему заряженных точечных частиц, связанных электромагнитным взаимодействием. При этом полное действие дается выражением

    (1.120)

Это выражение инвариантно при пространственно-временной трансляции

Если мы рассмотрим инфинитезимальные вариации вида

    (1.122)

то найдем, что

здесь

    (1.124)

Повторяя выкладки, ведущие к калибровочно-инвариантному тензору, т. е. добавляя величину , получаем

    (1.125)

Все нежелательные члены исчезли, и мы получили калибровочно-инвариантный, симметричный и сохраняющийся тензор энергии-импульса. Заметим, что, хотя динамические уравнения связывают материальные точки с полями, их вклады входят в (1.125) аддитивно

Для того чтобы обобщить закон сохранения углового момента, изучим следствия лоренц-инвариантности около фиксированной точки. В инфинитезимальной форме

здесь - антисимметричный тензор. Легко видеть, что лагранжиан, вообще говоря, неинвариантен относительно такого преобразования одних лишь аргументов, поскольку оно должно

сопровождаться соответствующими преобразованиями полей. Иными словами, полям сопоставляются представления однородной группы Лоренца. Элементам группы Лоренца отвечают преобразования полей по формуле

    (1.127)

Мы рассматриваем поля как вектор-столбец, a - как матрицу представления группы В случае А, близких к единичному, величина будет равна где определяется выражением (1.126), а имеет соответствующую форму. Оставляем читателям как упражнение изучить такие преобразования для электромагнитного поля и ограничимся здесь рассмотрением более простого случая скалярных полей Чтобы применить теорему Нётер, в выражении (1.126) мы должны рассматривать как функции от х и определять коэффициенты при них в вариации действия с учетом свойства антисимметрии Если -симметричный тензор энергии-импульса, то закон сохранения обобщенного углового момента запишется в виде

В случае когда поля преобразуются по нетривиальным представлениям группы Лоренца, величина представляет собой лишь орбитальную часть. При построении сохраняющейся величины к добавляют члены, соответствующие внутреннему моменту вращения. В гл. 2 и 3 мы встретимся с конкретными примерами этого явления. То, что (1.128) задает сохраняющиеся величины, существенно связано с симметричностью тензора Соответствующие шесть зарядов

    (1.129)

не зависят от времени. Следует отметить, что не являются трансляционно-инвариантными. При смещении начала координат на орбитальная часть изменяется на величину . Чтобы найти величину, которую в действительности следует называть собственным угловым моментом, мы введем вектор Паули — Любанского

    (1.130)

который в системе покоя сводится к обычному трехмерному угловому моменту

До сих пор в данном релятивистском описании мы избегали обращаться к гамильтонову формализму или скобкам Пуассона. Это объясняется тем, что нам не хотелось, чтобы время играло выделенную роль. Однако ничто не мешает нам сделать это. В данный момент времени t произвольному полю можно сопоставить сопряженное поле

Аналогично определим скобки Пуассона для двух функционалов полей в момент времени t:

    (1.132)

К этим функциональным производным следует относиться осторожно. Например, если L выражается как пространственный интеграл от плотности, содержащей производные от полей, всегда подразумевается соответствующее интегрирование по частям. В частности, справедливы соотношения

и, например,

Легко видеть, что уравнения поля (1.44) принимают вид

р полной аналогии с нерелятивистской динамикой, когда мы определяли функцию Гамильтона Н как интеграл от плотности энергии:

    (1.135)

выраженный через Выражение (1.134) означает, что Н генерирует временные трансляции системы. Читателю нетрудно получить обобщения на случай пространственных трансляций и инфинитезимальных преобразований Лоренца.