3.1.2. Скалярное поле

В случае квантованного свободного скалярного поля, гамильтониан которого дается выражением (3.11), нам придется существенно изменить вышеприведенные формулы, полученные для трехмерного непрерывного пространства. Трехмерные импульсы обозначаются через заменяет . Здесь и далее мера фазового пространства для бозонов будет обозначаться следующим образом:

Последнее выражение ясно демонстрирует лоренц-инвариантность этой меры. Инвариантность может быть проверена непосредственно для величины она инвариантна относшельно вращений. Преобразование Лоренца, отвечающее скорости оставляет инвариантными поперечные компоненты , а также величину Таким образом,

откуда следует, что

Используя операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие соотношениям

сопряженные друг другу при для которых выполняются основные коммутационные соотношения (3.3), можно записать в виде

Основное состояние, или вакуум, определяется следующим образом:

в то время как гамильтониан принимает вид

В соответствии с рассмотрением, приведенным в гл. 1, естественно ожидать, что оператор трехмерного импульса Р дается выражением

В отличие от энергии здесь не требуется нормального упорядочения. Моды к и —к компенсируют друг друга, поэтому вакуум, т. е. собственное состояние оператора Р с нулевым собственным значением, является трансляционно-инвариантным. Операторы коммутируют, и

откуда следует, что оператор действуя на состояние, добавляет 4-импульс .

С точностью до нормального упорядочения выражение для плотности тензора энергии-импульса совпадает со своим классическим аналогом

в котором заменяется на

В момент времени поле можно записать в виде

Это выражение автоматически удовлетворяет уравнению Клейна—Гордона. Используя символ для операции

оператор а можно выразить через следующим образом:

Это выражение в действительности не зависит от времени. В самом деле, используя равенство имеем

Во всех приложениях мы должны рассматривать нормированную суперпозицию плоских волн, для которой оправдано интегрирование по частям. Последнее выражение обращается в нуль, поскольку удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона. Следовательно,

В пространстве Фока базис можно построить из нормированных -частичных соотношений:

Волновая функция симметрична относительно перестановок -импульсов принадлежащих верхней поле гиперболоида так называемой массовой поверхности. Коммутирующий с оператор числа частиц

действует на состояния (3.45) следующим образом:

Необходимо убедиться, что соблюдается релятивистская инвариантность. В вышеприведенной формулировке используется определенная система отсчета, и можно задаться вопросом, придем ли мы к эквивалентной теории, проводя квантование в какой либо другой системе отсчета, связанной с данной преобразованием Пуанкаре. Отметим штрихами координаты новой системы отсчета. Мы хотим

выяснить, существует ли квантовое каноническое преобразование, которое связывает основные операторы рожтения и уничтожения с соответствующими операторами и полученными при квантовании на гиперплоскости . Действительно, такое каноническое преобразование существует, если каждому преобразованию можно сопоставить унитарный оператор пространстве Фока, такой, что

Предполагая дифференцируемость по параметрам , достаточно рассмотреть инфинитезималькые преобразования типа

где Следовательно, нам нужно найти 10 эрмитовых операторов и таких, что

и

10 генераторов Р и М должны удовлетворять геометрическим коммутационным соотношениям:

в которых коммутатор заменяет (с точностью до t) классические скобки Пуассона. Как и при выводе выражения для можно ожидать, что эти генераторы определяются из теоремы Нётер:

здесь 0 дается выражением (3.41), которое более точно можно записать в виде

Выражения для совпадают с (3.38) и (3 39); они действительно такие, что Для мы находим

Таким образом, соотношения (3.50) и (3.51) выполняются. Поскольку в входит лишь орбитальный момент, частицы, рождаемые и уничтожаемые полем не имеют спина.

Убедившись в ковариантности квантовой теории, изучим теперь вопрос о том, как связаны между собой описание, использующее представление частиц с массой и нулевым спином, и описание, основанное на эрмитовом поле которое может принадлежать набору измеримых величин.

Хотя в определенный момент времени поля, относящиеся к разным точкам пространства, коммутируют, это не выполняется, когда мы сравниваем их в разные моменты времени. Однако из канонического квантования следует, что коммутатор двух свободных полей имеет простую структуру и описывается с-числовой обобщенной функцией вида

Вещественную обобщенную функцию можно также записать с помощью знаковой функции

откуда видно, что является нечетным лоренц-инвариантным решением уравнения Клейна — Гордона. Из условия и лоренц-инвариантности находим, что на самом деле обращается в нуль вне светового конуса, т. е. в области . Измерения в точках, разделенных пространственно-подобным интервалом, не влияют друг на друга, что является следствием локальности и причинности Заметим также, что из канонического квантования следует

Чтобы построить кгперентные состояния, которяе диагонализуют положительно-частотпую часть квантового ноля, т. е. являются аналогами минимальных волновых пакетов для гармонического осциллятора, предположим, что на массовой поверхности задана нормируемая функция

Рассмотрим состояние определяемое выражением

которое в пространстве Фока является когерентной суперпозицией состояний с частицами. Считая, что явтяется произвольным, выражение (3 58) можно использовать как производящую функцию для получения состояний с фиксированным числом частиц. Применяя тождество справедливое для двух операторов А и В, коммутирующих с , вычислим норму состояния

Следовательно, два таких состояния, вообще говоря, не ортогональны и система когерентных состояний является переполненной. Обозначим через нормированное состояние, соответствующее

тогда мы можем записать

Вакуумное состояние соответствует а в более общем виде таким образом, мы диагонализовали аннигиляционную (положительно-частотную) часть поля

При эволюции во времени когерентные состояния остаются когерентными. Действительно,

где

Полезно также построить унитарный оператор , который осуществляет преобразование

Читатель может убедиться сам, что таким оператором является

Поскольку — это операторно-значная обобщенная функция, ее можно сгладить пробной функцией

Если f близка к или мы получаем среднее по пространству или Рассмотрим распределение вероятности величины в состоянии, соответствующем фиксированному числу частиц :

Чтобы вычислить это распределение, можно использовать в качестве производящих функций когерентные состояния, так что задача сводится к вычислению величины

где J - фурье-образ функции

Заметим, что вклады в (3.64) дают только значения заданные на массовой поверхности. Предоставляя читателю в качестве упражнения изучить общий случай, найдем вакуумное распределение поля

Нет ничего удивительного в том, что мы получили распределение Гаусса со среднеквадратичным отклонением

от нулевого среднего значения. Поле в данной точке пространства-времени, соответствующее имеет бесконечную флуктуацию, и, следовательно, ненаблюдяемо Но сглаженные операторы имеют смысл даже тогда, когда носитель функции ограничен фиксированным значением времени. Заметим, что вакуум не является состоянием с нулевым полем, и, как мы скоро увидим, вакуумные флуктуации наблюдаемы

Bvecio того чтобы рассматривать можно также построить полный набор сглаженных значений

соответствующих в предыдущих обозначениях, причем величины

нормируются в соответствии с формулами

Собственное состояние операторов с собственными значениями с не совсем точно можно назвать собственным состоянием поля с собственным значением

так что

Обозначим соответствующее состояние через Для того чтобы получить его компоненты в базисе Фока, достаточно знать скалярное произведение этого состояния и когерентного состояния Это произведение можно получить, решив уравнение

для каждого значения п. Если нормировка такова, что

мы приходим к выражению

с помощью которого можно изучать физический смысл этих состояний.