Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.5.3. Применение к кулоновскому рассеяниюКулоновское рассеяние будет служить пробным камнем для про. верки метода, опирающегося на функции распространения. Процесс, который мы здссь изучаем, - это рассеяние электрона с массой В классической нерелятивистской механике траектории являются гиперболами. Угол рассеяния 0 и прицельный параметр b связаны друг с другом благодаря следующим соотношениям (обозначения см. на рис. 2.5): 1) геометрическим соотношениям
2) закону сохранения энергии
3) закону сохранения углового момента
Исключая из этих соотношений
Рассмотрим однородный поток электронов с плотностью
РИС. 2.5. Кулоновское рассеяние на заряде, расположенном в точке Р. Число частиц, рассеянных в телесный угол
Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния, определяемое как отношение величины
Здесь Обратимся теперь к релятивистскому квантовому случаю. Используем выражение (2 116), в котором заменим S на как при
где
и
Поскольку при
мы имеем
когда
где
Во втором выражении (2.124) интеграл
и аналогичным состоянием
Для кулоновской задачи
Следует заметить, что здесь выполняется закон сохранения энергии. В заключение запишем необходимое преобразование Фурье кулоновского потенциала:
Мы используем здесь вместо волновых пакетов стационарные плоские волны; поэтому нет ничего удивительного в том, что квадрат амплитуды (2.126) не существует. Положение можно исправить, если в соответствии с золотым правилом Ферми рассматривать конечный временной интервал и заменить
Квадрат этого выражения ведет себя при больших Т как Таким образом, вероятность перехода между состояниями i и
Суммирование здесь проводится по всем возможным конечным состояниям, число которых в элементарном объеме импульсного пространства
Чтобы выполнить тривиальное интегрирование по
В нерелятивистском пределе величина
Здесь вновь использовано выражение (2.40). Теперь нам понадобятся тождества для следов у-матриц. След произведения любого нечетного числа у-матриц равен нулю Для четного числа можно доказать по индукции следующее тождество:
В нашем случае эти свойства приводят к равенствам
Нам понадобятся также кинематические соотношения
где
Окончательное выражение сечения рассеяния для неполяризованных частиц (сечение Мотта) запишется в виде
При Этот результат получен для рассеяния электронов. Рассмотрим кратко рассеяние позитронов в том же самом кулоновском поле. Кулоновская сила притяжения теперь заменяется на силу отталкивания. В классической нерелятивистской механике мы снова приходим к формуле Резерфорда (этот замечательный результат является характерной чертой кулоновского поля). В нашем квантовом рассмотрении нам известно, что теория инвариантна относительно зарядового сопряжения. Рассеяние электрона зарядом Можно проверить это прямым расчетом; однако мы предпочтем использовать теорию дырок. Позитрон в конечном состоянии с
Таким образом, мы вновь приходим к выражению (2.116). Граничные условия на этот раз имеют вид
Повторяя этапы, которые привели нас от (2.122) к (2.125а), и обращая при этом внимание на знаки, получаем
Это выражение согласуется с результатом, полученным прямым вычислением. Падающий позитрон (с точностью до фазы) описывается волновой функцией
В соответствии с (2.125) рассеяние позитронов будет описываться амплитудой
Отсюда очевидно, что это выражение приводит к сечению рассеяния (2.128). Предоставляем читателю рассмотреть поляризационные эффекты или поправки, обусловленные отдачей ядер. Напомним только, что можно применить полезное понятие формфактора. Предположим, что мы изучаем рассеяние не на точечном заряде, а на распределении зарядов с конечными размерами, т. е. на ядре с конечным радиусом. Будем считать, что сферически-симметричное распределение
Как и в (2.1.26), сечение рассеяния в низшем порядке по а пропорционально величине
соотношением
|
1 |
Оглавление
|