Глава 2. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Приступая к построению полностью релятивистской механики, мы будем следовать исторически сложившемуся пути и начнем с построения одночастичной теории. Мы введем уравнения Клейна—Гордона и Дирака и укажем область их применимости. В качестве приложений рассмотрим электромагнитное взаимодействие, релятивистский спектр атома водорода и кулоновское рассеяние. Дырочная интерпретация состояний с отрицательной энергией в терминах античастиц требует новой формулировки, так называемого вторичного квантования, представляющего собой теорию многих частиц.

2.1. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

2.1.1, Квантовая механика и релятивизм

Наша первая цель — это попытаться совместить принципы квантовой механики и релятивистской инвариантности, а именно построить лоренц-ковариантное волновое уравнение. На этом пути мы встретим все увеличивающиеся трудности и противоречия, которые в конечном счете заставят нас полностью пересмотреть наши физические представления.

В квантовой механике состояния системы представляются нормированными векторами (или матрицами плотности в гильбертовом пространстве при этом является вероятностью нахождения системы в состоянии Физическим наблюдаемым величинам сопоставляются самосопряженные операторы в пространстве которые в общем случае являются неограниченными. Математическое ожидание наблюдаемой А, когда система находится в состоянии , т. е. среднее значение по многим измерениям на идентично приготовленных состояниях, равно . Эволюция системы во времени вследствие самодействия или под воздействием внешних сил, заданных классическими силовыми полями, описывается уравнением Шредингера

или что эквивалентно, уравнением

где Н — самосопряженный оператор, унитарный оператор, удовлетворяющий уравнению

Часто встречаются случаи, когда система инвариантна относительно определенных преобразований симметрий, например преобразований внешних сил. Теорема Вигнера гласит, что такие преобразования представляются унитарными (или антиунитарными) операторами, которые отображают гильбертово пространство на себя, сохраняют модуль скалярного произведения и коммутируют с Н.

С другой стороны, специальная теория относительности утверждает, что законы природы не зависят от выбора системы отсчета, если только последняя принадлежит к классу «галилеевых систем», получаемых одна из другой с помощью преобразований группы Пуанкаре. Эта группа содержит пространственные и временные трансляции, обычные пространственные вращения и лоренцевы вращения (или бусты), которые связывают системы, движущиеся с постоянной относительной скоростью (см. гл. 1). Скорость света с является абсолютной верхней границей для скорости любого сигнала. Сигнал, исходящий из пространственно-временной точки достигает лишь точек расположенных внутри конуса будущего:

Это — релятивистское условие причинности. Для скоростей же, много меньших скорости с, надежным приближением остается галилеева механика.

При построении релятивистского и квантового описания точечной частицы можно ожидать некоторых осложнений. Действительно, релятивизм сопоставляет частице с массой импульсы порядка . Однако, согласно соотношению неопределенностей в случаях, когда масштаб длины меньше, чем комптоновская длина волны (для электрона , понятие точечной частицы может привести к затруднениям. Чтобы фиксировать положение частицы с большей

точностью, потребуется энергия (импульс) того же порядка, что и масса покоя Тем самым допускается рождение новых частиц. Мы с неизбежностью приходим к понятию античастицы. Тем не менее для некоторой промежуточной области релятивистская квантовая механика вполне правомерна, что подтверждается ее последующим развитием.

Чтобы согласовать условие релятивистской инвариантности с квантовой механикой, обратимся к принципу соответствия. В обычном конфигурационном представлении квантовой механики мы связываем операторы с энергией Е и импульсом соответственно. Энергия свободной массивной частицы связана с импульсом соотношениями

Если не будет специальных оговорок, мы будем использовать систему единиц, в которой

Тем же способом, каким принцип соответствия преобразует соотношение (2.2а) в уравнение Шредингера для волновой функции

в релятивистском случае этот принцип преобразует соотношение (2.26) в уравнение Клейна—Гордона:

Хотя это уравнение отличается от уравнения Шредингера, (2.1), его можно написать в аналогичном виде, если ввести матричные обозначения. Определим следующие величины:

тогда вектор удовлетворяет уравнению

для соответствующего набора эрмитовых матриц размерностью Читатель может непосредственно написать эту совокупность матриц и получить вспомогательное условие, с помощью которого воспроизводится система уравнений, эквивалентных уравнению (2.3).

Если интерпретировать как волновую функцию, то нам нужно найти неотрицательную норму, сохраняющуюся при эволюции во времени. Действительно, существует уравнение

непрерывности

в котором четыре-вектор определяется выражениями

Интегральная форма уравнения (2.4) записывается в виде

откуда следует, что изменение полного «заряда» внутри объема V соответствует потоку плотности j через поверхность охватывающую объем V. Однако плотность заряда не является положительно определенной величиной. Поэтому ее вполне можно рассматривать как плотность сохраняющейся величины (например, электрического заряда), но не как положительно определенную вероятность.

Еще одна проблема возникает, когда мы обнаруживаем существование решений с отрицательной энергией. Любая функция, имеющая вид плоской волны

удовлетворяет уравнению (2.3) при условии, что . Таким образом, отрицательные энергии появляются на тех же основаниях, что и физические энергии . Это серьезная трудность, поскольку спектр больше не ограничен снизу. Кажется, что из системы можно извлечь произвольно большое количество энергии. В случае частицы, находящейся первоначально в покое, это было бы возможно, если бы внешнее возмущение позволило ей перескочить через энергетическую щель шириной между континуумами положительных и отрицательных состояний. Очевидно, что при этом понятие стабильных стационарных состояний становится несостоятельным.

Эти доводы казались в свое время такими непреодолимыми, что заставили Дирака ввести другое уравнение. Хотя новому уравнению отвечает положительная норма, мы здесь с необходимостью столкнемся с той же самой проблемой физической интерпретации состояний с отрицательной энергией. На этом этапе мы вернемся к уравнению Клейна—Гордона и переформулируем нашу

релятивистскую квантовую механику как теорию многих тел, в которой состояния с отрицательной энергией могут быть интерпретированы как античастицы.