6.1.2. Правила Фейнмана для спинорной электродинамики

Полный лагранжиан, описывающий взаимодействующую систему фотонов, электронов и позитронов, записывается в виде

где

Эти выражения нам уже встречались в гл. 3 и 4 В первом из выражений (6 25) вводится массивный фотон с массой много меньшей массы электрона , и здесь нам приходи использовать индефинитную метрику. Лагранжиан взаимодействия соответствует минимальной связи, т. е. замене электронном лагранжиане.

Для двух типов пропагаторов, входящих в спаривания, будем использовать различные обозначения. Электрон-позитронный пропагатор обозначим сплошной линией, ориентированной в направлении распространения заряда ():

Этот пропагатор, как известно, не является симметричной функцией от х и у, но удовлетворяет соотношению (3.176). Фотонный

пропагатор мы обозначим волнистой линией:

Для того чтобы избежать путаницы с электронной массой здесь введено обозначение Следует отметить, что величины к и не входят в физические результаты.

Вследствие сохранения заряда функции Грина содержат равные числа полей

    (6.28)

Чтобы не усложнять обозначения, мы опустили спинорные и векторные индексы, от которых зависит G. Как и в случае (6.14), можно получить выражение для G через -поля:

где предполагается, что поля, входящие в лагранжиан Нормально упорядочены. В дальнейшем индексы будем опускать Разлагая (6 29) в степенной ряд по и используя теорему Вика, приходим к диаграммам Фейнмана, построенным из пропагаторов (6 26) и (6.27) и вершины

Эта вершина имеет один векторный и два спинорных индекса, которые сворачиваются с соответствующими индексами фотонных и фермионных пропагаторов Как и в скалярном случае, знаменатель в (6 29) служит для исключения вакуумных поддиаграмм.

Рассмотрим знаки, появившиеся после применения теоремы Вика к фермионам. Вследствие сохранения заряда в диаграммах встречаются два вида фермионных линий, замкнутые петли и незамкнутые линии, оканчивающиеся в точках и

РИС. 6.8. Пример идендичных диаграмм в спинорной электродинамике; учитываться должна только одна из них.

начинающиеся в Замкнутые петли составлены из последовательности пропагаторов полей, входящих в лагранжиан взаимодействия:

Так как последние коммутируют под знаком Г-произведения, его можно записать в виде

не меняя знака выражения Произведение спариваний (6 31) получается после перестановки функций с нечетным числом полей Отсюда следует, что каждой фермионной петле отвечает знак минус.

С другой стороны, незамкнутые линии определяют перестановку точек — начало линии, кончающейся в . Это приводит к появлению дополнительного знака, равного сигнатуре перестановки

Диаграммы, различающиеся только ориентацией фермионной петли, обе дают вклад только в том случае, если они топологически различны Например, очевидно, что диаграммы на рис 6.8 идентичны, лишь одна из них дает вклад в Напротив, каждая из двух диаграмм на рис 6.9, а и б дает вклад в четырехфотонную функцию (рассеяние фотона на фотоне) Эти вклады соответствуют двум различным совокупностям спариваний:

причем сворачивается с и т. п. В конфигурационном пространстве в четырехточечную функцию дают вклады различных диаграмм, которые получаются из диаграммы, приведенной на рис 6 9, а, с помощью перестановок точек например, диаграмма на рис получается из диаграммы рис. 6.9, а перестановками

РИС. 6.9 Четырехфотонная амплитуда в низшем порядке. Диаграммы (а) и (б) не идентичны в конфигурационном пространстве. После суммирования по переменным остается шесть различных диаграмм, изображенных на рис. в

После интегрирования по перестановок переменных z дают фактор, который компенсирует множитель возникающий в разложении . Таким образом, остается шесть различных диаграмм (рис. 6.9, в) (и никаких факторов).

Представление в импульсном пространстве определяется с помощью фурье-преобразования Запишем для связной функции следующее выражение.

здесь все импульсы являются входящими Правила Фейнмана для вычисления функций состоят теперь в том, чтобы нарисовать все возможные топологически различные диаграммы и сопоставить им соответствующие факторы, перечисленные в табл 6.1.

Таблица 6.1. Правила Фейнмана для спинорной электродинамики

(см. скан)

Затем все спинорные индексы необходимо свернуть вдоль фермионных линий (для каждой замкнутой петли это сводится к вычислению следа), а все векторные индексы свернуть вдоль фотонных линий Наконец, нужно выполнить все интегрирования по внутренним импульсам

Для диаграммы порядка (диаграммы с вершинами) интегрирование по переменным и их перестановкам приводят к сокращению множителя в разложении Следовательно

в данном наборе правил, когда учитываются только топологически различные диаграммы, фермионная электродинамика не содержит факторов симметрии. Читатель может сравнить диаграммы, представленные на рис. 6.8, a и 6.10, с аналогичными диаграммами скалярной теории, приведенными на рис. 6.6, в и 6 3, а Первые диаграммы, если выбрать одну ориентацию для каждой фермионной петли, не имеют факторов симметрии, в то время как последние имеют весовые множители соответственно

РИС. 6.10. Диаграмма спинорной электродинамики в отсутствие фактора симметрии

РИС. 6 11. Две диаграммы с противоположными ориентацииями спинорной петли

Теорема Фарри При вычислении функции Грина все диаграммы, содержащие фермионную петлю с нечетным числом вершин, можно не учитывать Действительно, две петли с противоположными ориентациями (рис 6 11) дают вклады с противоположными знаками Чтобы показать это, запипеч вклад, соответствующий первой ориентации, в виде

и вспомним, что существует матрица С [см, (3.176)], такая, что выполняются следующие равенства

Вводя в выражении для между пропагаторами величину получаем

С точностью до знака это выражение совпадает с вкладом диаграммы, имеющей противоположную ориентацию Следовательно, для нечетных s вклады обеих диаграмм сокращаются, что и требовачось доказать.