1.1.2. Электромагнитное поле как бесконечная динамическая система

Системы с бесконечно большим числом степеней свободы хорошо известны в механике жидкостей и газов, электродинамике, физике твердого тела и т. п. Мы обсудим здесь, как можно обобщить лагранжев формализм на случай электромагнитного поля.

Чтобы получить функцию Лагранжа, будем исходить из уравнений поля в присутствии фиксированных внешних источников. Мы используем систему единиц Хевисайда (в которой закон Кулона записывается в виде ) и полагаем Запишем уравнения Максвелла в терминах напряженности электрического поля Е, магнитной индукции В, плотностей заряда и тока

Локальный закон сохранения заряда запишется в виде

Напомним физическую интерпретацию этих уравнений, записанных в интегральной форме

1) , поток вектора Е через замкнутую поверхность

равен полному заряду, находящемуся внутри объема, ограниченного этой поверхностью (закон ).

2) циркуляция вектора магнитной индукции В вдоль замкнутой кривой С, являющейся границей поверхности S, равна потоку через S суммы обычного тока и тока смещения Максвелла .

3) ; поток вектора В через замкнутую поверхность равен нулю, что означает отсутствие магнитных зарядов (монополей)

4) ; изменяющийся магнитный поток порождает электродвижущую силу (закон индукции Фарадея).

Удобно использовать компактнее обозначения, которые отражают релятивистские ковариантные свойства векторных, тензорных и т. д. полей. Считая, что греческие индексы пробегают значения от 0 до 3, можно ввести следующие обозначения:

Производные будем сокращенно записывать как Определим также антисимметричный символ Леви-Чивиты равный 1 или —1 в зависимости от того, является ) четной или нечетной перестановкой чисел (0, 1, 2, 3), и равный нулю в остальных случаях. Заметим, что . Этот символ используется для преобразования антисимметричного тензора в дуальный, например:

Иными словами, F получается из F заменой справедливо и обратное соотношение

При преобразованиях Лоренца преобразуются как антисимметричные тензоры. В частности, если выполнить однородное преобразование Лоренца по формуле (1.23), то получим

где

Такая явная запись не всегда удобна. Например, чтобы найти релятивистские инварианты, построенные из Е и В, проще воспользоваться тензорными обозначениями и убедиться в том, что они могут быть комбинациями лишь следующих величин:

Приведем также тождества:

Используя эти обозначения и эйнштейновское соглашение о суммировании по немым индексам, уравнения Максвелла можно записать в компактном виде:

При этом закон сохранения тока выступает как естественное условие совместности:

Чтобы продвинуться дальше, нам нужно отождествить пространственную координату х с индексом , обозначающим различные степени свободы, причем это соответствие должно быть таким, чтобы Однако, если рассматривать как конфигурационные переменные, мы сразу же натолкнемся на затруднение, поскольку в уравнения Максвелла входят производные только первого порядка по времени. Кроме того,

в этой формулировке не проявляется в явном виде лоренц-инвариантность.

Чтобы, преодолеть эти трудности, преобразуем сначала наши уравнения в эквивалентные уравнения второго порядка. Это осуществляется с помощью 4-потенциала , который позволяет представить в виде

тождественно удовлетворяющем системе однородных уравнений (1.376). При этом напряженность электрического поля и магнитная индукция В выражаются через следующим образом:

Это, вообще говоря, локальные соотношения для частногб решения в окрестности точки, выбранной за начало координат, причем частное решение записывается в виде

Однако такой потенциал не определяется единственным образом соотношением (1.39) Его можно преобразовать, добавляя -градиент. Это преобразование называется калибровочным:

В случае регулярных полей, удовлетворяющих уравнениям (1.37), потенциал можно фактически определить во всем пространстве-времени, что приводит к эквивалентной форме уравнений Максвелла:

где — оператор Д’Аламбера (даламбертиан), Очевидно, что при калибровочном преобразовании вид уравнения (1.41) не меняется. В электродинамике калибровочный произвол иногда оказывается досадной помехой, в иных же случаях он является глубоким и плодотворным принципом. Адекватный выбор калибровки можег привести к существенным упрощениям, хотя при этом возможно нарушение явной релятивистской ковариантности.

Наша первая цель достигнута в том смысле, что мы теперь имеем уравнения второго порядка Однако компактные обозначения могут ввести в заблуждение. Поэтому более внимательно рассмотрим эти уравнения, которые в явном виде записываются

следующим образом:

При некоторых условиях, фиксирующих калибровку, таких, как (кулоновская калибровка), производная по времени в первом из этих уравнений отсутствует (уравнение Пуассона). Это уравнение играет роль связи. При этом можно найти решение для

Векторный потенциал теперь дается выражением

Вследствие закона сохранения тока дивергенция правой части равна нулю.

Рассмотренный выбор калибровки иногда применяют для того, чтобы получить лагранжев формализм как первый шаг к квантованию Он имеет очевидный недостаток — явное нарушение ковариантности. Тем не менее лежащая в его основе физическая картина, соответствующая исключению некоторых лишних степеней свободы, может быть привлекательной в отдельных случаях, например в задаче на связанные состояния

Однако нам нужно написать действие, используя функцию Лагранжа, обеспечивающую локальный характер теории. Поэтому мы не будем применять эту калибровку с ее мгновенно действующим кулоновским потенциалом Локальность — глубоко укоренившийся физический принцип, происходящий из формализма теории поля, созданного в XIX веке. Этот принцип лежит в основе большинства достижений релятивистской теории поля; его справедливость подтверждена вплоть до очень малых пространственно-временных интервалов (например, с помощью дисперсионных соотношений) и пока не вызывает сомнений.

Следовательно, функция Лагранжа должна выражаться в виде пространственного интеграла от плотности, называемой лагранжианом который в свою очередь зависит лишь от полей и их производных конечного порядка В действительности мы не требуем, чтобы поля были непосредственно измеримыми величинами; это очевидным образом относится к зависящему от калибровки потенциалу Однако локально измеримые величины должны выражатьоя через локальные комбинации динамических

переменных. Напишем интеграл

В большинстве случаев будем рассматривать этот интеграл, не уточняя пределы интегрирования. Предположим, что интегрирование распространено на все пространство и что поля исчезают достаточно быстро на бесконечности, чтобы было оправдано интегрирование по частям.

Предположим также, что преобразуется как -вектор-ное поле, а лагранжиан — как скалярная плотность; тогда действие будет лоренц-инвариантным Кроме того, потребуем, чтобы величина 3 зависела только от полей и их первых производных и при калибровочном преобразовании (1.40) к ней могла добавиться самое большее дивергенция. является естественным обобщением аналогичного свойства функции Лагранжа и обеспечивает калибровочную инвариантность уравнений движения.

Вообще говоря, если лагранжиан зависит от полей и их градиентов то при бесконечно малой вариации полей изменение действия дается выражением

Требование стадионарности действия приводит к обобщенным уравнениям Эйлера—Лагранжа

В соответствии с принятыми выше правилами мы должны выбрать коэффициенты а, b, с, d и в лагранжиане

таким образом, чтобы уравнения (1.44) совпадали о (1.41). Простое вычисление дает с точностью до общего множителя

Здесь используется как сокращенная запись связи электромагнитного тензора с потенциалом. Коэффициент с остается произвольным. Он умножается, как и ожидалось, на дивергенцию:

Следовательно, этот член может быть опущен, и мы приходим к выражению для действия

В присутствии внешнего тока этот лагранжиан не является калибровочно инвариантным. При калибровочном преобразовании (1.40) к нему добавляется выражение, которое в силу закона сохранения тока является дивергенцией:

Это объясняет инвариантность уравнений Максвелла. Мы заключаем, что сохранение тока является необходимым и достаточным условием калибровочной инвариантности теории

Поскольку этот вопрос крайне важен в квантовом случае, интересно рассмотреть его с другой точки зрения. До сих пор мы не ограничивали произвол в выборе величин А Структура уравнения (1.41) такова, что наиболее естественно использовать условие Лоренца

с учетом которого уравнение (1.41) принимает вид

Данное уравнение совместно с (1.46). Калибровочный произвол теперь сильно ограничен, поскольку в этом случае допускаются лишь такие преобразования для которых

Условие Лоренца может быть включено в формализм с помощью множителя Лагранжа X, если добавить в действие член

При этом уравнения Максвелла изменятся и запишутся в виде

Беря дивергенцию от обеих частей, Видим, что при

Таким образом, если обращается в нуль при больших то этот член равен нулю для всех моментов времени и, следовательно, уравнение (1.49) эквивалентно уравнениям Максвелла в калибровке Лоренца.

Просуммируем логические связи:

1. . Калибровочная инвариантность закон сохранения тока. Принцип наименьшего действия — уравнения Максвелла.

2. . Принцип наименьшего действия — Граничные условия — калибровка Лоренца — уравнения Максвелла.

Несложный анализ позволяет запомнить знаки в (1.45). «Кинетические» члены в входят с коэффициентом Кроме того, поскольку есть потенциальная энергия, она должна входить со знаком минус. Остальное следует из лоренц-инвариантности. Заметим также то, что в естественной системе единиц представляет собой энергию и, следовательно, действительно имеет размерность действия: энергия X время.