Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1.1.2. Электромагнитное поле как бесконечная динамическая системаСистемы с бесконечно большим числом степеней свободы хорошо известны в механике жидкостей и газов, электродинамике, физике твердого тела и т. п. Мы обсудим здесь, как можно обобщить лагранжев формализм на случай электромагнитного поля. Чтобы получить функцию Лагранжа, будем исходить из уравнений поля в присутствии фиксированных внешних источников. Мы используем систему единиц Хевисайда (в которой закон Кулона записывается в виде
Локальный закон сохранения заряда запишется в виде
Напомним физическую интерпретацию этих уравнений, записанных в интегральной форме 1) равен полному заряду, находящемуся внутри объема, ограниченного этой поверхностью (закон 2) 3) 4) Удобно использовать компактнее обозначения, которые отражают релятивистские ковариантные свойства векторных, тензорных и т. д. полей. Считая, что греческие индексы пробегают значения от 0 до 3, можно ввести следующие обозначения:
Производные будем сокращенно записывать как
Иными словами, F получается из F заменой
При преобразованиях Лоренца
где Такая явная запись не всегда удобна. Например, чтобы найти релятивистские инварианты, построенные из Е и В, проще воспользоваться тензорными обозначениями и убедиться в том, что они могут быть комбинациями лишь следующих величин:
Приведем также тождества:
Используя эти обозначения и эйнштейновское соглашение о суммировании по немым индексам, уравнения Максвелла можно записать в компактном виде:
При этом закон сохранения тока выступает как естественное условие совместности:
Чтобы продвинуться дальше, нам нужно отождествить пространственную координату х с индексом в этой формулировке не проявляется в явном виде лоренц-инвариантность. Чтобы, преодолеть эти трудности, преобразуем сначала наши уравнения в эквивалентные уравнения второго порядка. Это осуществляется с помощью 4-потенциала
тождественно удовлетворяющем системе однородных уравнений (1.376). При этом напряженность электрического поля
Это, вообще говоря, локальные соотношения для частногб решения в окрестности точки, выбранной за начало координат, причем частное решение записывается в виде
Однако такой потенциал не определяется единственным образом соотношением (1.39) Его можно преобразовать, добавляя
В случае регулярных полей, удовлетворяющих уравнениям (1.37), потенциал
где Наша первая цель достигнута в том смысле, что мы теперь имеем уравнения второго порядка Однако компактные обозначения могут ввести в заблуждение. Поэтому более внимательно рассмотрим эти уравнения, которые в явном виде записываются следующим образом:
При некоторых условиях, фиксирующих калибровку, таких, как
Векторный потенциал теперь дается выражением
Вследствие закона сохранения тока дивергенция правой части равна нулю. Рассмотренный выбор калибровки иногда применяют для того, чтобы получить лагранжев формализм как первый шаг к квантованию Он имеет очевидный недостаток — явное нарушение ковариантности. Тем не менее лежащая в его основе физическая картина, соответствующая исключению некоторых лишних степеней свободы, может быть привлекательной в отдельных случаях, например в задаче на связанные состояния Однако нам нужно написать действие, используя функцию Лагранжа, обеспечивающую локальный характер теории. Поэтому мы не будем применять эту калибровку с ее мгновенно действующим кулоновским потенциалом Локальность — глубоко укоренившийся физический принцип, происходящий из формализма теории поля, созданного в XIX веке. Этот принцип лежит в основе большинства достижений релятивистской теории поля; его справедливость подтверждена вплоть до очень малых пространственно-временных интервалов (например, с помощью дисперсионных соотношений) и пока не вызывает сомнений. Следовательно, функция Лагранжа должна выражаться в виде пространственного интеграла от плотности, называемой лагранжианом переменных. Напишем интеграл
В большинстве случаев будем рассматривать этот интеграл, не уточняя пределы интегрирования. Предположим, что интегрирование распространено на все пространство и что поля исчезают достаточно быстро на бесконечности, чтобы было оправдано интегрирование по частям. Предположим также, что Вообще говоря, если лагранжиан зависит от полей
Требование стадионарности действия приводит к обобщенным уравнениям Эйлера—Лагранжа
В соответствии с принятыми выше правилами мы должны выбрать коэффициенты а, b, с, d и
таким образом, чтобы уравнения (1.44) совпадали о (1.41). Простое вычисление дает с точностью до общего множителя
Здесь
Следовательно, этот член может быть опущен, и мы приходим к выражению для действия
В присутствии внешнего тока этот лагранжиан не является калибровочно инвариантным. При калибровочном преобразовании (1.40) к нему добавляется выражение, которое в силу закона сохранения тока является дивергенцией:
Это объясняет инвариантность уравнений Максвелла. Мы заключаем, что сохранение тока является необходимым и достаточным условием калибровочной инвариантности теории Поскольку этот вопрос крайне важен в квантовом случае, интересно рассмотреть его с другой точки зрения. До сих пор мы не ограничивали произвол в выборе величин А Структура уравнения (1.41) такова, что наиболее естественно использовать условие Лоренца
с учетом которого уравнение (1.41) принимает вид
Данное уравнение совместно с (1.46). Калибровочный произвол теперь сильно ограничен, поскольку в этом случае допускаются лишь такие преобразования
Условие Лоренца может быть включено в формализм с помощью множителя Лагранжа X, если добавить в действие член При этом уравнения Максвелла изменятся и запишутся в виде
Беря дивергенцию от обеих частей, Видим, что при
Таким образом, если Просуммируем логические связи: 1. 2. Несложный анализ позволяет запомнить знаки в (1.45). «Кинетические» члены в
|
1 |
Оглавление
|