5.1.2. Асимптотическая теория

Центральной задачей при изучении столкновений является вычисление элементов -матрицы между состояниями частиц, находящихся на массовых поверхностях. В рамках лагранжева подхода

существует алгоритм вычисления этих величин. В этом мы убедились в предыдущей главе, изучая поведение квантовых полей, взаимодействующих с внешними источниками. Локальная динамика позволит нам подробно изучить оператор S и выразить его через более элементарные величины, а именно через фундаментальные функции Грина Для того чтобы формулировка была по возможности простой, проведем построение в рамках самодействующего скалярного поля Обобщение на более сложные случаи, такие, как электродинамика, лишь усложняет формализм, не затрагивая логической основы Мы рассмотрим этот вопрос ниже.

Опишем теперь кратко постановку задачи Пространство состояний Фока строится с помощью оператора свободного поля действующего на единственное вакуумное состояние Это арена, на которой разыгрывается весь динамический процесс. Физические наблюдаемые должны выражаться только через данное свободное поле В частности, это справедливо для взаимодействующего поля . Связь между этими двумя полями можно интуитивно представить себе следующим образом В отдаленном прошлом является соответствующим пределом оператора Разумеется, такая картина имеет смысл, если мы рассматриваем какой-то конкретный процесс, и применима лишь в случае, когда элементарные частицы, участвующие в столкновении, достаточно отдалены одна от другой Чтобы реализовать эту идею, можно предположить, что члены, отвечающие взаимодействию, в уравнениях движения вводятся с некоторой адиабатической функцией обрезания, которая равна единице при конечных временах и плавно спадает при Поэтому любую физиче величину следует рассматривать как предел, когда эта адиабатическая функция выключается. Адиабатическая гипотеза утверждает, что при этих условиях

Сразу возникают два вопроса. Что означает множитель ? В каком математическом смысле предполагается существование этого предела? Прежде всего заметим, что наличие множителя при в (5.14 а) обусловлено тем, что поля естественно нормируются соотношениями коммутации при совпадающих временах и дейавуя на вакуум, образует только одночастичные состояния, в то время как генерирует также состояния с парами (в предположении, что лагранжиан является четным по ) Амплитуды имеют одинаковую функциональную зависимость от х, которая определяется кинематикой Следовательно, нормировочный множитель учитывает тот факт, что состояние не описывается полностью матричным элементом что было бы справедливо, если бы заменили

на . Интуитивно, таким образом, можно ожидать, что является числом, заключенным между нулем и единицей.

Кроме того, в выражении (5.14 а) предел может быть только слабым, т. е. справедливым для каждого матричного элемента в отдельности. Если бы это было не так, мы могли бы заключить, что коммутатор двух полей равен с точностью до Z соответствующему с-числовому коммутатору свободных полей. Тогда из канонического квантования следовало бы и мы пришли бы к заключению, что — свободное поле! Это указывает на то, что адиабатическое условие надо рассматривать с осторожностью. Следуя Леману и Челлену, константу Z можно следующим образом связать со спектральным представлением коммутатора двух взаимодействующих полей. Рассмотрим вакуумное среднее этого коммутатора Для простоты предположим, что поле эрмитово. Используя трансляционную инвариантность, запишем равенство

где сумма берется по всей совокупности состояний а с положительными энергиями. Чтобы сравнить это с коммутатором двух свободных полей массы :

подставим в (5.15) тождество

Тогда будем иметь

Мы ввели здесь плотность

Очевидно, эта величина положительна и обращается в нуль, когда q не лежит в световом конусе будущего; кроме того, она инвариантна относительно преобразования Лоренца, что определяется соответствующим свойством поля . Следовательно, плотность можно записать в виде:

В общем случае это положительная мера, которая может иметь сингулярности типа -функций. Окончательно получаем суперпозицию свободных коммутаторов с положительными весами (представление

Следуя той же схеме рассуждений, нетрудно убедиться, что для вакуумного среднего хронологического произведения операторов получается аналогичный результат с той же спектральной функцией .

В выражении (5.17), используя асимптотическое условие, можно выделить вклад одночастичного состояние:

Здесь — масса частиц, а — многочастичный порог. Если лагранжиан взаимодействия не содержит производных поля, величина будет сопряженной по отношению к . Дифференцируя по времени обе части выражения (5.18) и приравнивая коэффициенты при , находим, что из канонического квантования следует:

Положительность величины о действительно означает, что

Значение 1 исключается, если какой-либо матричный элемент отличный от не равен нулю. Очевидно, что равенство влечет за собой

Из представления Челлена—Лемары следует, что асимптотический предел нельзя понимать как сильный. Можно также проверить, что при доминирующий вклад определяется одночастичными состояниями, остальные же члены подавляются быстро осциллирующими множителями. По той же причине соотношение (5 19) накладывает ограничения на изменение плотности . Многочастичные состояния приводят к тому, что носитель плотности а простирается до бесконечности, что может нарушить положительность величины 1.

По аналогии с асимптотическим пределом (5.14а), имеющим место в отдаленном прошлом, мы полагаем, что существует также предел

Здесь - снова свободное поле с той же самой массой , что и и мы имеем же самую константу . Единственность

вакуума означает, что (возможная относительная фаза, как правило, выбирается равной нулю) Кроме того, мы предполагаем, что одночастичпые состояния являются устойчивыми. При этих условиях Поскольку зависимость такая же, как к у соответствующих матричных элементов или нормировка которых определяется их свойствами свободного поля, с необходимостью получаем

С помощью -матрицы устанавливается изоморфизм между -состояниями. Из соотношения (5.6) следует, что

Кроме того,

здесь опущены индексы у одночастичных состояний и отражена только стабильность этих состояний.

Чтобы была обеспечена ковариантность теории, унитарная -матрица должна коммутировать с преобразованиями Пуанкаре:

Можно также проанализировать более глубокие локальные свойства -матрицы, если, следуя Боголюбову и Ширкову, допустить пространственно-временную зависимость констант взаимодействия в лагранжиане. Для систематического изучения этого подхода мы отсылаем читателя к монографин этих авторов