Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1.2. СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ1.2.1. Фундаментальные инвариантыРассмотрим снова системы с конечным числом степеней свободы. Главная задача, разумеется, состоит в том, чтобы решить уравнения движения с соответствующими граничными условиями. Общие свойства движения, такие, как симметрии, являются полезными, поскольку они упрощают вычисления. Их можно использовать также для того, чтобы сузить класс динамических моделей. Примеры этого типа уже рассматривались нами в случае лоренц-инвариантности. Симметрии могут играть двоякую роль. С одной стороны, они позволяют получать семейства решений из одного данного решения, если некоторые преобразования сохраняют динамические уравнения инвариантными. С другой стороны, они приводят к сохранению таких величин, как заряд, энергия, импульс и т. п. Глубокая связь между этими двумя аспектами и составляет предмет настоящего рассмотрения Мы начнем с очень простого примера. Нерелятивистская точечная частица движется в силовом поле, создаваемым не зависящим от времени потенциалом Положение частицы и ее скорость в момент времени t, отвечающие начальным условиям, заданным в нулевой момент времени, будут те же, что и в момент времени
Инвариантность по отношению к временным трансляциям эквивалентна утверждению, что
и энергия сохраняется. Этого простого замечания достаточно, например, чтобы явно описать движение, если частица вынуждена двигаться в одном измерении С другой стороны, рассмотрим действие, вычисляемое на стационарной траектории, проходящей от точки
или в дифференциальной форме
Принимая во внимание формулу (1.12), находим, что действительно
Ясно, что закон сохранения вытекает из существования непрерывной группы инвариантности Для пространственных трансляций получаем аналогично
Вспоминая снова формулу (1 12) и дифференцируя по а, находим закон сохранения полного импульса
Предыдущие примеры можно рассматривать как частные случаи формулы, определяющей вариацию стационарного действия, когда изменяется внешний параметр а [см соотношение (1.13)]. Действительно, а можно выбрать как параметр, характеризующий преобразование. Если имеется также инвариантность относительно вращений, рассмотрим инфинитезимальный поворот на угол
Та же самая формула
Поскольку вектор
Разумеется, если имеется инвариантность относительно вращения лишь вокруг некоторой оси, то будет сохраняться только соответствующая компонента углового момента. Таким образом, в том случае, когда динамическая задача обладает симметрией, два стационарных действия 1 (2,1) и Однако в действительности симметрии не обязательно непрерывны Примером могут служить четность, обращение времени и В заключение постараемся получить вышеупомянутые выражения в форме, удобной для дальнейших обобщений Для конкретности рассмотрим снова инвариантность относительно вращений. При инфинитезимальном вращении вектор q переходит в
при условии, что
Следовательно, сохраняющаяся величина пропорциональна
поскольку Для временных трансляций изложенный метод следует применять с осторожностью Если инфинитезимальный параметр
Инвариантность обычно означает, что Может случиться, что уравнения движения инвариантны, и функция Лагранжа не инвариантна При инфинитезимальном, не зависящем от времени преобразовании к функции L добавляется полная производная по времени Иными словами, в случае Например, динамическое описание частицы, движущейся под действием постоянной силы, трансляционно инвариантно, но импульс частицы не сохраняется. Функция Лагранжа имеет вид.
Обобщение этих выражений на случай бесконечных систем не вызывает трудностей. Мы будем различать два типа симметрий. Первый тип симметрии соответствует геометрическим преобразованиям пространства и времени, при которых лагранжиан
|
1 |
Оглавление
|