Глава 7. РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ

Здесь мы сформулируем программу перенормировок в квантовой теории поля. Эта программа затем проводится для электродинамики на примере однопетлевых диаграмм. Кроме того, мы рассмотрим применение перенормировок в расчетах аномального магнитного момента, радиационных поправок к кулоновскому рассеянию (включая анализ инфракрасных расходимостей), лэмбовского сдвига в атомах и амплитуды рассеяния фотона на фотоне. В заключение дается обсуждение проблемы релятивистских наведенных дальнодействующих электромагнитных сил между нейтральными частицами.

7.1. ПЕРЕНОРМИРОВКА ОДНОПЕТЛЕВЫХ ДИАГРАММ

В данной главе мы изучим высшие порядки теории возмущений. То, что на первый взгляд кажется простым упражнением, требующим, возможно, некоторого аналитического искусства, оказывается в действительности весьма нетривиальной проблемой. Общая теория перенормировок будет изложена в следующей главе (см. т. 2 настоящей книги). Чтобы получить некоторое представление о предмете нашего изучения, обратимся сначала к расчету радиационных поправок низшего порядка в квантовой электродинамике. Это позволит нам увидеть, как из заведомо недоопределенных выражений извлекаются разумные результаты, которые можно сравнивать с экспериментальными данными; это позволит также ввести последовательно понятие перенормировки. Серьезный недостаток данного подхода связан с тем, что квантовая электродинамика — довольно сложная теория. Мы должны учесть требование калибровочной инвариантности и отделить инфракрасные расходимости от ультрафиолетовых. Тем не менее удивительные достижения квантовой электродинамики делают наши усилия обоснованными и оправдывают инверсию логической последовательности в нашем изложении.

Параметры, входящие в лагранжиан, такие, как массы и константы связи, непосредственно не измеряются. Например, в классической теории точечной частицы нам приходится добавлять к голой массе величину электромагнитного происхождения, чтобы

получить физическую инертную массу. Последняя, разумеется, конечна, тогда как первая вполне может быть бесконечной. Мы дадим поэтому операционалистское определение фундаментальных параметров (число которых конечно). Из теории перенормировок следует, что выражения для функций Грина, полученные по теории возмущений, конечны, если их записать в терминах этих физических параметров. Массы будут обычно определяться как изолированные полюсы двухточечных функций. Соответствующие вычеты, которые входят в амплитуды рассеяния как мультипликативные константы, будут включены в определение перенормированных полей. Наконец, константы связи мы зададим, фиксируя значения определенных амплитуд в наперед выбранных точках импульсного пространства.

Чтобы выполнить эту программу, лучше вначале иметь дело с хорошо определенными конечными величинами. Происхождение расходимостей связано с сингулярным характером функций Грина на малых относительных расстояниях. Эквивалентом этого в импульсном просгрансгве является тот факт, что соответствующие фурье-образы не убывают на бесконечности достаточно быстро. Так им образом, мы приходим к регуляризации теории на промежуточном этапе. Она состоит в замене первоначальных выражений на более гладкие, такие, что интегралы становятся конечными. Итак, мы должны пройти следующие три этапа: 1) регуляризацию, 2) перенормировку и 3) устранение параметров регуляризации. Регуляризация будет успешной, если в результате этого процесса мы придем к конечным величинам.

7.1.1. Поляризация вакуума

Рассмотрим вначале фотонный пропагатор в импульсном пространстве. К свободному пропагатору

следует добавить поправку, которая в соответствии с правилами, приведенными в гл. 6, запишется в низшем порядке (рис. 7.1) в виде

Дополнительный знак минус возникает здесь благодаря фермионной петле. Очевидно, что при больших значениях импульса интеграл (7.2) квадратично расходится Чтобы придать ему смысл, применим регуляризацию Паули — Вилларса. Это равносильно введению минимальной связи фотонов с дополнительными спинорными

полями, обладающими очень большой массой Такие поля можно было бы отнести к секторам гильбертова пространства с индефинитной метрикой. В случае когда мы имеем дело с тензором поляризации вакуума , это подразумевает замену

которую необходимо произвести под знаком интеграла в выражении (7,2). Если бы данная замена производилась для сходящегося интеграла, то при получилась бы исходная величина.

РИС. 7.1. Фотонный пропагатор в низшем порядке.

В нашем же случае постоянные вводятся, чтобы устранить эту расходимость Минимальный характер связи с дополнтельными полями означает, что при такой регуляризации калибровочная инвариантность сохраняется.

Обозначим большие массы общим символом пусть обозначает правую часть в (7.3). Тогда

Величина представляет собой фурье-образ функции Грина, отвечающей произведению токов. В любом порядке сохранение тока приводит к условию

которое формально удовлетворяется, поскольку

Здесь мы заменили К на и использовали инвариантность следа относительно циклических перестановок Если бы интеграл сходился, то, совершая замену переменной в первом члене, мы могли бы удостовериться, что условие (7.5) выполняется. Такой способ действия не годится для исходного выражения, но в регуляризованном тензоре указанную замену уже можно произвести. Это свидетельствует о том, что данная регуляризация подходит для наших целей

Чтобы вычислить интегралы (7.4), воспользуемся параметрическим представлением, введенным в предыдущей главе, с дополнительным усложнением, связанным с наличием числителей в фермионных пропагаторах. Таким образом, мы имеем

где — вспомогательные -векторы, которые позволяют воспроизвести подынтегральное выражение в (7.4) с помощью дифференцирования. Интегрируя по и выполняя необходимые дифференцирования, получаем

Фигурирующий под знаком интеграла полином от k можно перегруппировать следующим образом:

Наше вычисление остается ковариангньш, однако не очевидно, что выполнено условие сохранения тока, которое требует, чтобы величина была пропорциональна выражению . В вышеприведенной формуле второй член не обладает такой структурой,

и его вклад имеет вид , где

Здесь по определению мы положили Последнее выражение можно переписать также следующим образом:

При фиксированных значениях коэффициенты выбираются таким образом, чтобы интегралы сходились в окрестности Сходимость при больших а обеспечивается добавкой к массам величины присутствие которой предполагается Мы можем затем изменить порядок интегрирования и дифференцирования по . При этом интеграл

не зависит от , в чем можно убедиться, производя замену Следовательно, Оставшийся член в тензоре поляризации вакуума запишется в виде

Используя свойство однородности, введем под знаком интеграла множитель и произведем замену переменных: . Тогда

В точке интеграл по , по-видимому, логарифмически расходится. Отделив вторую степень импульса при переходе от к , мы уменьшили степень расходимости от двух до нуля. Это иллюстрирует тесную связь, существующую между степенью расходимости и размерностью интегралов.

Если выбрать коэффициенты таким образом, чтобы Выполнялось условие

то регуляризованный интеграл по будет сходиться. Кроме того, выберем k таким образом, чтобы выполнялось условие , т. е. ниже порога рождения пары. Поскольку значения с, заключены между нулем и единицей и удовлетворяют условию то Тогда разность является положительной, и контур интегрирования в комплексной плоскости можно повернуть на угол При этом рассматриваемый интеграл принимает вид

В проинтегрированном выражении благодаря условию (7.7) мы избавились от опасного члена . При фиксированных значениях этот результат записывается следующим образом:

Здесь мы пренебрегли по сравнению с Определим Л таким образом, чтобы выполнялось соотношение

В результате мы приходим к следующему регуляризованному выражению для тензора поляризации вакуума:

Нетрудно взять оставшийся интеграл и получить следующее аналитическое выражение:

Это выражение получено в предположении, что Соответствующую функцию можно продолжить в комплексную плоскость При значения функции получаются с помощью предельного перехода на верхний берег разреза, начинающегося в точке (рис. 7.2).

РИС. 7.2. Комплексная плоскость для поляризации вакуума; стрелка указывает, как достигается физическая область на верхнем береге разреза.

Скачок на разрезе равен . Его можно также вычислить с помощью последнего интегрального представления, в котором нужно положить проинтегрировать по частям и перейти к переменной Таким образом, получаем выражение

которое представляет собой дисперсионное соотношение с одним вычитанием, отвечающее описанным выше аналитическим свойствам. Абсорбтивная часть тензора со запишется в виде

Мы видим, что она не зависит от параметра регуляризации Л и, следовательно, перенормировка на нее не влияет. Данный вывод согласуется с нашим расчетом вероятности рождения пар внешним полем [см. выражение (4.105)].

РИС. 7.3. Вероятность рождения пар во внешнем поле, определяющая скачок на разрезе для тензора поляризации вакуума.

Эта вероятность определяется как квадрат соответствующей амплитуды (рис. 7.3) и в рассматриваемом порядке дается выражением

Единственное следствие регуляризации — появление константы которая расходится, если А устремить к бесконечности.

Прежде чем произвести перенормировку, рассмотрим снова исходные формулы (7.1) и (7 2). В действительности мы вовсе не собираемся вычислять фотонный пропагатор по этим формулам! Если к добавить величину то при этом помимо простого возникает также двойной полюс. Рассматривая упорядочение разложения теории возмущений по числу петель, мы имели в виду одночастично неприводимые функции Грина, что соответствует в нашем случае обратному пропагатору.

РИС. 7.4. Фотонный пропагатор, выраженный через поляризацию вакуума.

Вклад нулевого порядка (без петель) в эту величину равен а однопетлевой вклад равен (здесь индекс I указывает, что вклад вычисляется в первом порядке теории возмущений);

Обращая это выражение, мы получаем пропагатор, представленный на диаграмме суммой, каждый член которой является цепочкой петель (рис. 7.4). Если в общем случае удастся показать, что тензор поляризации вакуума во всех порядках имеет вид скалярной функции, умноженной на выражение то из формулы (7 12), в которой мы отбросим индекс 1, можно получить следующее общее соотношение между пропагатором и величиной

Это соотношение можно сравнить с формулой (5.80), При получении последней мы учитывали перенормировку массы, а также расходимости. Чтобы быть более точными, предположим, что в (7.13) для знаменателя справедливо интегральное представление вида

Если по-прежнему удовлетворяет дисперсионному соотношению типа (7.10) (с порогом, расположенным в начале координат , а не в точке то справедливо соотношение

При условии что интегралы, которые мы писали, имеют смысл, получаем

Рассматривая интеграт (7.14) при предположим, что величина конечна; тогда можно показать, что в вышеприведенной формуле последний член в квадратных скобках обращается в нуль. Следовательно, выражение (7.13) можно переписать в виде 00

Это выражение действительно аналогично (5.80).

Результат суммирования, отраженный в выражениях (7 12) и (7.13), привел к новому явлению В самом деле, изолированный полюс при соответствующий свободной теории, сдвинулся, причем положение его определяется теперь выражением . В случае же фотонного пропагатора изменения не столь сильны. Действительно, введено здесь лишь для удобства, а именно чтобы обрезать в промежуточных вычислениях инфракрасные расходимости. В любом случае для извлечения физической информации нам придется рычислять комбинации типа , где - сохраняющиеся токи: . В этих выражениях устраняются члены, содержащие что позволяет нам рассматривать предельный переход Если вместо этого положить то G запишется в виде

Если то величина по-прежнему обращается в нуль при

Характеризуя свойстно можно менее строго утверждать, что на самом деле перенормировки массы фотона не происходит. Однако требуется перенормировка волновой функции, поскольку вычет в полюсе равен теперь не 1, а Вычисления с помощью однопетлевых диаграмм приводят к интересному выводу, а именно: мы обнаруживаем, что единственная потенциально расходящаяся и потому неизвестная величина, входящая

в , представляет собой константу, которую можно считать значением этой величины при . В случае, когда измерима только величина для того чтобы дать определение квадрата заряда, можно взять два разнесенных на большое расстояние идентичных источника. Определим квадрат заряда как коэффициент при кулоновском статическом потенциале на больших расстояниях. Этот коэффициент здесь равен где индекс 0 введен для того, чтобы показать, что речь идет о «голой» константе связи, которая применялась нами вплоть до настоящего времени в разложениях по теории возмущений. Это определение согласуется с определением, данным в гл. 5, в пределе . Таким образом, мы имеем

Чтобы быть последовательными, представим все величины в виде рядов по параметру, соответствующему числу петель L в неперенормированных диаграммах Фейнмана. В разд 6.2.! было показано, что такие диаграммы содержат множитель . Поэтому если остановиться в разложении на членах порядка то в конечный остаток вместо можно подставить а, поскольку этот член имеет порядок как и Этим также объясняется, почему в правой части равенства (7.18) стоит величина а.

В соответствии с данным определением заряда перенормированный пропагатор можно записать в виде

Это выражение имеет равный единице вычет в фотонном полюсе и может быть записано через физический заряд.

Мы видим, как содержание программы перенормировки становится более прозрачным; неопределенные и потенциально расходящиеся величины исчезают, когда функции Грина выражаются через физические перенормированные величины,

Полагая мы выбрали здесь знак в соответствии с условием (7.7). Интуитивно смысл выражения (7.18) состоит в том, что голый заряд экранируется за счет множителя меньшего единицы и положительного, до тех пор, пока величина не становится подавляюще большой. Поляризация вакуума, соответствующая рождению виртуальных электрон-позитронных пар, уменьшает заряд пробной частицы, что чувствует соседняя, удаленная от нее частица.

При выводе выражений, подобных (7.19), можно встать на другую точку зрения Она связана с утверждением, что исходный лагранжиан есть лишь формальное средство для вычисления амплитуд с помощью теории возмущений Такое утверждение осноьано на интуитивном принципе соответствия между классической и квантовой механикой. Если это так, то результаты, полученные с помощью исходного лагранжиана могут быть уточнены с помощью квантовых поправок. Предположим поэтому, что в низшем порядке выражается через физические параметры. Тогда следует построить пертурбатиьные поправки вида называемые лонтрчленами (коэффициенты при этих членах становятся бесконечными, когда параметры обрезания устремляются к бесконечности). Контрчлены позволяют сохранить правильные значения этих физических параметров:

Различные части классифицируются по степеням отвечающим числу петель в исходных диаграммах. Тот факт, что число петель можно связать со степенью b, хорошо согласуется с высказанным выше соображением

Наш расчет можно интерпретировать как поиск вклада в следующего вида:

Добавляя такой член к мы вводим дополнительную диаграмму порядка (рис. 7.5) и заменяем исходный (регуляризованный) тензор на следующий:

Рис. 7.5. Две диаграммы порядка соответствующие поляризации вакуума в подходе, использующем контрчлены.

Таким образом, получаем

Это новое правило означает, что всюду вместо используется а. Кроме того, в уравнении (7.9) член, не зависящий от , обращается в нуль при самым оправдывается введение перенормированной величины Из соотношений (7.18) следует, что и, следовательно,

Это выражение имеет смысл при вещественных . В области, лежащей выше его приходится находить с помощью аналитического продолжения. Отметим следующие интересные предельные случаи:

Видим, что асимптотическое выражение при больших отрицательных поразительно похоже (включая коэффициент) на первоначальный расходящийся член, содержащий обрезание. Разумеется, это не является случайным, что станет более ясным в ходе нашего изложения.

Экранирование заряда, происходящее за счет поляризации вакуума, имеет физические следствия Используя перенормированные выражения и рассматривая статический случай, когда мы видим, что замена приводит к изменению закона Кулона и напоминает экранировку заряда в обычной диэлектрической среде, в которой мы имели бы , где — диэлектрическая проницаемость. В случае достаточно малых (по сравнению с величиной задающей масштаб) кулоновское взаимодействие можно приближенно записать в виде

Данный результат впервые был получен Улингом.

В конфигурационном пространстве для бесконечно тяжелого ядра с зарядом — расположенного в начале координат, это выражение дает следующую поправку:

Дополнительный член надо учитывать только в первом порядке, иначе мы поступили бы непоследовательно, поскольку в сохраняются члены лишь порядка а. Разложение в окрестности нуля

в первом порядке привело к сингулярности в конфигурационном пространстве. Однако нас интересует лишь среднее значение потенциала в невозмущенных состояниях, на котором не сказывается замена реальной поправки, имеющей форму острого пика при малых , на -функцию. Следует заметить, что это усиление при малых согласуется с представлением о том, что на малых расстояниях восстанавливается поэкранированное взаимодействие с «голым» зарядом.

В случае водородоподобного атома найденная выше поправка приводит к следующему смещению -волновых уравнений:

В этой формуле мы использовали кулоновскую волновую функцию в нуле: , где . В теории Дирака два уровня, отвечающие квантовым числам и обладающие противоположными четностями являются вырожденными.

РИС. 7.6. Вклад поляризации вакуума в расщепление уровней атома водорода.

Поправка, связанная с поляризацией вакуума, понижает -уровень на величину (рис. 7.6). В 1947 г. Лэмб, измеряя расщепление этого уровня, получил значение порядка МГц, указывающее на то, что поляризация вакуума играет здесь несущественную роль по сравнению с другими эффектами В разд 7.3.2 мы покажем, как полная теория согласуется с экспериментом, что является косвенным указанием на экранирование заряда.

Разумеется, мы можем избавиться от приближения малых . В случае статического заряда, расположенного в начале координат, кулоновский потенциал

в первом порядке по а определяется выражениями

Здесь у — постоянная Эйлера, равная . Согласно определению заряда, имеем . Мы снова видим, что, когда уменьшается, увеличивается и при даже становится бесконечным Приближение, используемое в выражении (7.23), справедливо лишь для средних значений

В заключение заметим, что предположения, при которых были получены наши результаты, равносильны тому, что вычет фотонного пропагатора в фотонном полюсе (при ) равен единице. Поэтому в амплитудах рассеяния фактор приписываемый фотонным линиям, был заменен на единицу.