Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
6.2.4. Фукнции Грина в евклидовой области
Функции Грина (скалярной) теории являются функциями инвариантных скалярных произведении их внешних импульсов, представляющих собой вещественные лоренцевы 4-векторы. Из результатов предыдущей главы (а также из раздела 6.2.5) следует, что эти функции обладают свойствами аналитичности и могут быть продолжены в нефизические области. Здесь мы остановимся на вопросе о продолжении
евклидову область, в которой теория поля по некоторым свойствам аналогична статистической механике. Формулировкой теории поля в евклидовой области мы заниматься не будем, однако разовьем соответствующую этому случаю теорию возмущений. Вновь для простоты будем применять скалярною теорию.
Рассмотрим сильносвязную функцию
и предположим, что ее аргументы удовлетворяют условию
для любых вещественных
. Многообразие, удовлетворяющее этому условию, есть линейное пространственно-подобное подпрострачство (гиперпространсво) импульсного пространства. Рассматривая
как функцию инвариантов
, вычислим размерность всего многообразия, когда отсутствует ограничение (6 92), и размерность подмножества с ограничением (6.92) Разумеется, необходимо помнить, что в четырехмерном пространстве любой набор более чем четырех векторов является линейно-зависимым. Следо вателыю, при
векторы
линейно-зависимы. Поэтому в случае
инварианты
принадлежат многообразию размерности
и 3 для
соответственно). Если принять во внимание условие (6.92), то в случае
они принадлежат подмногообразию размерности
. При
обе размерности совпадают и равны 6 (например,
причем
при 5 евклидого подмногообразие (6.92) имеет размерность, меньшую размерности всего пространства.
В евклидовой области (6.92) все
ортогональны некоторому времениподобному вектору
. Используя преобразование Лоренца, можно выбрать
, при этом
для всех i. Это позволяет сопоставить каждому
вектор
евклидова
-пространства: в такой системе отсчета
. Следовательно,
Если теперь выделить диаграмму, дающую вклад в
и записать этот вклад в виде (6.89), то можно определить величину
т. е. сумму импульсов
входящих в вершшу v. Напомним, что каждому «рассечению» С такой диаграммы сопоставляются величины
с (6.87) и (6.88)]
Поэтому на многообразии (6.92) выражение (6.90) можно переписать в виде
Напомним, что в
подразумевается наличие отрицательной мнимой части. С учетом положительности выражения, стоящего в квадратных скобках в показателе экспоненты (при это позволяет нам повернуть контур интегрирования в комплексной плоскости к (рис. 6.28) на угол
(т. е. по часовой стрелке). Последнее, конечно, эквивалентно одновременному повороту на угол
всех переменных а в выражении (6.89).
РИС. 6.28. Поворот Вика в параметрическом пространстве (а) и в импульсном пространстве (б). Исходный контур интегрирования указан одиночной стрелкой, а. контур, получающийся в результате поворота, — двойной стрелкой. На рис. б крестиками обозначены положения полюсов
Необходимо подчеркнуть, что добавка
играет решающую роль, так как она задает направление поворота. Этот поворот, называемый обычно поворотом Вика, является незаконным, если некоторые
оказываются отрицательными. В импульсном пространстве
с (6.83)] поворот Вика сводится к повороту на
(против часовой стрелки) всех
системе отсчета, в которой все
Это согласуется с расположением полюсов пропагатора в точках
После осуществления поворота мы получим в евклидовой области
Величина С(G), стоящая перед
[ср. с (6.83)], содержит множитель
происходящий от разложения
до членов степени V. Положим
и перепишем (6.93) в виде
Например, в теории
имеем
. В разд. 6.2.2 мы показали, что сильносвязные функции отождествляются с
), определяемыми с помощью преобразования Лежандра (6.73) и (6.75). Поэтому благодаря наличию дополнительного
множителя i эти функции
совпадают с вещественными евклидовыми функциями Грина, т. е.
определяемыми как суммы вкладов
от каждой диаграммы. Повторяя те же вычисления, что и в разд. 6.2.3, нетрудно доказать справедливость соотношения
(6.94)
где
- евклидовы
-импульсы,
Здесь, как и в формуле (6.93), подынтегральное выражение является положительным. Разумеется, Соотношение (6.94) означает, что Г можно вычислить в соответствии с правилами Фейнмана в евклидовом пространстве:
Из этих правил следует, что в области совпадения (6,92) между связными функциями Грина (с внешними пропагаторами) имеет место следующее соотношение:
В конфигурационном пространстве эти функции записываются в виде
где
. Введем теперь производящий функционал
и аналогичное выражение для
Собирая все множители i в формулах (6.716), (6.72), (6.73) и (6.96), можно непосредственно проверить, что
является преобразованием Лежандра от
где
связаны соотношением
В низшем порядке теории возмущений евклидов функционал в теории
можно
записать в виде
Следует заметить, что член
имеет здесь противоположный знак по сравнению с (6.82).
Евклидову теорию можно рассматривать как аналог статистической механики, в которой каждая полевая конфигурация входит С весом
. Это станет, по-видимому, более понятным после введения континуальных интегралов в гл. 9 (см. т. 2 настоящей книги)
Предлагаем читателю в качестве упражнения обсудить смысл поворота Вика при наличии полей со спином 1/2; выяснить, что происходит при этом с у-матрицами, а также найти соотношение между
. После этого можно будет сформулировать правила Фейнмана для евклидовой квантовой электродинамики.