5.3. УНИТАРНОСТЬ И ПРИЧИННОСТЬ

Редукционные формулы дают соотношения между измеряемыми амплитудами рассеяния на массовой поверхности и полными функциями Грина Большинство результатов, которые будут рассмотрены в остальной части настоящей книги, связаны с вычислением этих функций в рамках локальной релятивистской динамики, описываемой лангранжианом. Тем не менее важно подчеркнуть и ясно сформулировать основные физические требования,

такие, как унитарность и локальность, которые являются общими для различных динамических систем и, возможно, имеют более глубокий смысл, чем это представляется на сегодняшний день. Одним из основных результатов такого анализа является доказательство существования определенной аналитической струюуры амплитуд, приводящей к дисперсионным соотношениям по одной или нескольким переменным, дополненных правилами, приводящими к правильным предельным значениям на различных разрезах. Однако мы не будем подробно излагать все эти вопросы, а лишь покажем, сколь важную роль они играют, и приведем некоторые значительные результаты В следующей главе будет показано, как общие аналитические свойства сказываются на выражениях, получаемых в рамках теории возмущений.

5.3.1. Унитарность и разложение по парциальным волнам

Унитарность -матрицы отражает фундаментальный принцип сохранения вероятности. Даже если нам приходится использовать в определенных случаях такой искусственный механизм, как индефинитная метрика гильбеотовом пространстве, физические величины всегда связаны с состояниями с положительной нормой, сохраняющейся в [ечение временной эволюции. Формальные построения не должны затенять это важное обстоятельство, находящее свое отражение в ряде соотношений, прототипом которых является оптическая теорема Бора, Пайерлса и Плачека.

Рассмотрим поэтому сначала ограничения, накладываемые условием унитарности -матрицы, которое с учетом можно записать в виде

    (5.152)

Выделяя -функцию, выражающую закон сохранения импульса:

получаем нелинейное соотношение между амплитудами:

    (5.154)

в котором сумма берется по всем возможным промежуточным состояниям связанным с . В реальных случаях процесс рассеяния начинается с взаимодействия двух частиц Поэтому рассмотрим сначала двухчастичное упругое рассеяние. Обобщая данное определение, мы можем предположить, что частицы обмениваются спином или внутренними квантовыми числами при условии, что выполняются соответствующие законы сохранения. При

этом частицы должны оставаться внутри одного и того же мультиплета, отвечающего рассматриваемой симметрии (см. гл. 11). Для простоты мы не рассматриваем тождественные частицы Исследуем сначала в соотношении (5 154) состояние . Это соответствует рассеянию вперед, когда спины и внутренние квантовые числа в исходной и в конечной конфигурациях совпадают. Мы предполагаем также, что в системе отсутствуют дальнодействующие силы. При этом левая часть соотношения (5.154) запишется в виде а правая его часть связана с полным сечением с точностью до фактора потока, определяемого начальным состоянием. Для конкретности обозначим через массы и спины начальных частиц В случае состояния , характеризуемого определенным спином и квадратом полной энергии s в системе центра масс, с помощью формулы (5.13) получаем следующее выражение для полного сечения рассеяния вперед:

    (5.155)

где

    (5.155а)

и использована нормировка состояний на инвариантный элемент объема фазового пространства Общий трехмерный импульс частиц А и В в системе центра масс с величиной s соотношением Используя (5.155), приходим к оптической теореме, имеющей вид

В выражение для сечения упругого рассеяния вперед входит амплитуда S а. Предположим, что поляризации часгиц таковы, что начальное состояние инвариантно относительно вращений вокруг начального импульса Тогда сечение упругого рассеяния можно проинтегрировать по азимутальному углу и выразить через квадрат переданного импульса t, а не косинус угла рассеяния. Начальные и конечные импульсы в процессах рассеяния удовлетворяют закону сохранения энергии-импульса Определим переменные Мандельстама с помощью соотношений:

    (5.157)

Дифференциальное сечение упругого рассеяния можно теперь записать следующим образом:

Рассеянию вперед соответствует амплитуда, которую мы обозначили выше через Следовательно,

В столкновениях при очень бысоких энергиях мнимая часть амплитуды рассеяния вперед преобладает над вещественной частью. В этом случае в предположении, что полное сечение известно, формулу (5 159) можно использовать для нормировки дифференциального сечения упругого рассеяния.

Из условия унитарности можно извлечь и другие следствия, если удастся хотя бы частично днагонализовать оператор Для двухчастичного рассеяния это можно сделать, используя в качестве базиса собственные состояния полного углового момента.

Для выполнения соответствующего проектирования лучше всего подходит спиральный формализм Джакоба и Вика Обозначим через спиральности начальных (конечных) частиц в системе центра масс, где Предположим, что для двухчастичного состояния в этой системе являются полярными и азимутальными углами относительного трехмерного импульса по отношению к фиксированным осям координат. Рассмотрим — произведение вращения на угол вокруг оси у и вращение на угол вокруг оси . Это вращение переводит единичный вектор в вектор Состояние с полным угловым моментом J и проекцией М на ось имеет вид:

    (5.160)

Спиральность определяется как проекция спина на трехчерный импульс. Тем самым обобщается рассмотрение дираковских частиц и охватывается случай частиц нулевой массы.

Напомним, что функции Вигнера получаются с помощью представлений группы SU (2) уншарных унимодулярных -матриц. Это осуществляется следующим образом. Любое вращение R, действующее на произвольный вектор , может быть представлено парой матриц U, — U с помощью формулы . В более общем случае произвольную комплексную -матрицу можно рассматривать как линеиныи оператор, действующий в пространстве однородных полиномов от двух переменных

Чтобы получить , распространим это представление на полиномы степени с базисом

то можно записать

Эти матрицы имеют следующие свойства:

В частности, если матрица А унитарна, то унитарно и представление . В терминах группы SU (2) вращение в формуле (5.160) связано с его -представлением следующим образом:

Фазы можно выбрать так, что, если обозначают внутренние четности частиц А и В, законы преобразования этих состояний при отражениях пространства и обращении времени запишутся в виде

    (5.162)

Эти соотношения отражают тот факт, что спиральность является нечетной функцией при отражении и четной — по отношению к обращению времени.

Используя георему Вигнера—Эккарта и учитывая инвариантность относительно вращений, матричный элемент можно записать в виде следующего разложения:

    (5.163)

Кинематический множитель, возникающий при интегрировании по фазовому объему:

появляется в условии унитарности, которое мы приведем ниже. В выражении (5.163) ось выбрана направленной вдоль начального импульса угловые координаты импульса . Наконец, в сумме по J эта величина принимает целые или полуцелые значения, в зависимости от того, четное или нечетное число полуцелых спинов имеется в начальном или в конечном состоянии. Разложение Джакоба и Вика (5.163) легко обобщается на случай произвольного двухчастичного процесса рассеяния.

При наличии -инвариантности мы имеем

    (5-164)

Аналогично, если имеется Г-инвариантность, справедливо соотношение

выражающее симметрию матрицы рассеяния.

В случае когда полная энергия ниже неупругого порога, в соотношении (5.154) вклад в сумму по промежуточным состояниям дает только начальный двухчастичный канал. В состоянии с угловым моментом J это соотношение (5.154) запишется в виде

    (5.166)

где является матрицей в спиральном пространстве. Используя инвариантность по отношению к обращению времени, можно заменить левую часть выражения (5.166) на .

Если частицы бесспиновые, то формулы значительно упрощаются. В частности, совпадает с полиномом Лежандра , а уравнение (5.166) можно решить, вводя фазы рассеяния с помощью выражения

    (5.167)

Если в некотором базисе матрица диагональна, то полученное выражение справедливо для каждого диагонального матричного элемента.

Примером такого рода является пион-нуклонное рассеяние. В этом случае две независимые амплитуды можно заменить комбинациями

которые соответствуют рассеянию в состоянии с данной четностью, равной

Соберем вместе выражения, описывающие упругое рассеяние бесспиновых частиц. Если q — импульс в системе центра масс, угол рассеяния, а — фаза рассеяния в парциальной волне (возможно, комплексный), то справедливы следующие формулы:

    (5.168)

Последнее неравенство превращается в равенство ниже неупругого порога.