1.3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ

1.3.1. Функции Грина

Уравнение Клейна—Гордона имеет форму, типичную для динамических уравнений теории поля:

    (1.164)

где j может зависеть от полей Ф, а внешние индексы опущены. Примером может служить уже рассмотренный нами случай уравнений Максвелла для потенциала в калибровке Лоренца, в которых массовый член, входящий в (1.164), отсутствовал

На время предположим, что источник задан и Таким образом, мы имеем дело с гиперболическим дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка, которое определяет Ф в окрестности точки х через значения этой функции и ее производной в направлении нормали к пространственно-подобной поверхности, проходящей через точку х Характеристические элементы касательны к световому конусу. Это указывает на то, что локально выполняется условие причинности.

В теории рассеяния редко встречается такой способ решения задачи. Граничные условия для задают, как правило, на пространственно-подобных поверхностях, отделенных большим времениподобным интервалом. Полезно построить стандартные решения уравнения (1.164), в котором правая часть заменена обобщенной функцией, сосредоточенной в окрестности точки х. В общем случае будем обозначать решение уравнения

    (1.165)

через с дополнительным значком, характеризующим граничные условия, налагаемые на G. Эти условия в большинстве случаев трансляционно-инвариантны, так что соответствующие функции Грина (или пропагаторы) зависят только от аргумента Из принципа суперпозиции следует, что решения уравнения (1.164) записываются в виде

    (1.166)

где является решением однородного уравнения и выбирается таким образом, чтобы Ф удовлетворяло граничным условиям Опираясь вновь на трансляционную инвариантность, решим уравнение (1.165) с помощью преобразования Фурье, благодаря которому оно становится алгебраическим уравнением. Полагая

    (1.167)

мы получаем

    (1.168)

Чтобы разделить обе части на нам необходимо обойти нули этого выражения, расположенные на двуполостном гиперболоиде на конусе если Это в свою очередь эквивалентно интегрированию в (1.167) по слегка деформированному контуру. Следует заметить, что при различных выборах контура функция изменяется самое большее на величину Последнее выражение соответствует решению однородного уравнения. Разумеется, этот выбор определяется граничными условиями на бесконечности.

Определим сначала запаздывающую и опережающую функции Грина:

Введение в знаменатель величины эквивалентно незначительной деформации контура интегрирования по и показывает, что следует рассматривать как обобщенную функцию. Если сначала проинтегрировать по скажем в случае то контур интегрирования можно замкнуть в верхней комплексной полуплоскости, если не охватывая при этом какую-либо сингулярность. Согласно теореме Коши, заключаем, что равна нулю для По отношению к справедливо противоположное заключение. Можно показать, что эти обобщенные функции лоренц-инвариантны. Таким образом, равна нулю вне полы светового конуса, направленной в будущее, a обращается в нуль вне полы светового конуса, направленной в прошлое. Эти свойства согласуются с условием причинности для распространения сигналов. Отметим также, что обе функции Грина вещественны, причем . В случае имеем

    (1.170)

в то время как в случае явные выражения, включающие функции Бесселя, не являются столь прозрачными. Однако независимо от значения сингулярности этих функций Грина на световом конусе по-прежнему даются выражением (1.170). Данный результат отражает тот факт, что при малых х поведение полностью определяется дифференциальным оператором, входящим в (1.165). Следовательно, массовый член ответствен за то, что носитель не сосредоточен на световом конусе, как в выражении (1.170), но включает также сигналы, распространяющиеся со скоростью меньшей, чем скорость света. Возвращаясь к интегральному

представлению (1.169), проинтегрируем по испрльзуя разложение

где . Мы получаем непосредственно

Дадим физическую интерпретацию данной формулы. Для этого представим себе, что система заключена в очень большой кубический ящик с линейными размерами L. Тогда интеграл по импульсам заменится римановой суммой, а каждая компонента импульса запишется в виде , где — произвольное целое число, причем

Таким образом, мы можем записать

Импульс принимает только дискретные (но очень плотно лежащие) значения, а функции

    (1-172)

являются периодическими решениями однородного уравнения Клейна—Гордона. Знаки «+» или «-» соответствуют знаку частоты; в выражении (1.171) знак «-» в квадратных скобках [а также множитель i перед выражением, обеспечивающим вещественность всей величины: обусловлен тем, что решения уравнений должны быть нормированы в соответствии с индефинитной «нормой» [см. формулу (2.5) в гл. 2]. Мы увидим, что, в то время как имеет положительную норму, имеет отрицательную норму.

В любом случае выражение (1.171) приводит к интересной интерпретации распространения сигнала, соответствующей Распространение вперед во времени сигналов с положительной и отрицательной частотами определяется соответственно первым и вторым членами выражения (1.171) Для справедливо аналогичное выражение, в котором переставлены местами

Разность этих функций

представляет собой нечетную функцию, равную нулю вне светового конуса, так что

    (1.174)

Очевидно, что эта функция удовлетворяет однородному уравнению Клейна—Гордона. При она принимает вид

где -бесконечно малый времениподобный вектор, направленны в будущее.

Наконец, полусумма

представляет собой четное решение уравнения (1.165). В (1.176) символ главного значения РР относится к интегралу по напомним, что

Рассуждения, приведенные выше, справедливы для чисто классического случая. Однако в квантовом случае мы встретим другое четное решение того же самого уравнения, впервые введенное Штюкельбергом и Фейнманом. Одно из объяснений, почему это решение не может появиться в классической физике, состоит в том, что оно является комплексной обобщенной функцией, определяемой выражением

    (1.178)

Следовательно, оно удовлетворяет уравнению

Если, как и выше, мы перейдем к дискретной форме, то найдем эквивалентную запись:

    (1.179)

В то время как найденные выше функции Грина обращались в нуль вне светового конуса, функция GP вне светового конуса в нуль не обращается, а экспоненциально спадает при отрицательных Положим Тогда

    (1.180)

Из (1.179) заключаем, что соответствующее G распространение положительных (отрицательных) частот происходит вперед (назад) во времени. Это различие по отношению к частотам объясняет, почему G с необходимостью комплексна. Заметим также, что есть мероморфная функция комплексной переменной в противоположность функциям Грина, рассмотренным выше.

Эти выражения можно обобщить на более общие случаи, например на электродинамику. В соответствии с тем обстоятельством, что одного уравнения Максвелла

    (1.181)

недостаточно, для того чтобы определить потенциал А в терминах сохраняющегося тока мы находим, что матрица

    (1.182)

сингулярна в импульсном, просгранстве. Ее детерминант тождественно равен нулю. Фактически оператор L пропорционален проектирующему оператору, поскольку

    (1.183)

Чтобы обойти эту трудность, можно либо добавить малую массу, либо поступить так, как в разд. 1.1.2, и ввести в лагранжиан дополнительный член Модифицированные уравнения движения имеют вид

    (1.184)

а пропагатор записывается следующим образом:

Кажущаяся сингулярность в числителе не играет роли, когда свертывается с сохраняющимся током. В случае вновь получаем пропагатор Фейнмана . В гл. 3 мы обсудим этот вопрос более подробно.