3.4.2. Зарядовое сопряжение

Квантованные поля, как мы показали, могут описывать частицы, имеющие тождественные массы и спины, но противоположные заряды. В зависимости от физического содержания заряд можно интерпретировать по-разному. Это может быть заряд электрический, барионный, лептонный и т. д. Инвариантность относительно зарядового сопряжения предполагает, следовательно:

1) существование античастиц и

2) симметричные свойства квантов обоих типов.

Первый пример такого рода, который мы встретили, — это заряженное скалярное поле. Однако может быть так, что частицы и античастицы являются полностью тождественными. Такой случай имеет место для фотонов, когда соответствующий оператор меняет лишь знак поля:

    (3.182)

Почему это так происходит, мы увидим ниже.

Из главы 2 известно, что действие этого оператора на поле Дирака приводит к следующему преобразованию:

    (3.183)

где транспонирование относится только к индексам Дирака. В стандартном представлении у-матриц имеем

Для определенности выберем операторы рождения и уничтожения, действующие на спиральные состояния, т. е. . Таким образом, мы имеем спинор

    (3.184а)

где и по определению

    (3.184б)

В обычном представлении и можно показать, что Кроме того,

    (3.185)

При этих условиях из (3.183) нетрудно получить следующие соотношения:

Эти соотношения можно было бы записать с самого начала, а преобразование (3.183) получить как следствие. С точностью до фазового множителя заменяет частицы на античастицы, причем с теми же значениями импульса, энергии и спиральности. Вакуум Сохраняется инвариантным. В явном виде оператор записывается

следующим образом:

    (3.187)

где . Единственный смысл величины состоит в том, что она определяет эту фазу; при мы имеем Читатель может также проверить, что ток является нечетным относительно зарядового сопряжения.

В качестве приложения проведем классификацию низших связанных состояний системы фермион — антифермион, прототипом которой является позитроний, по отношению к операции зарядового сопряжения.

Последний представляет собой систему аналогичную атому водорода в котором протон заменен позитроном.

Вследствие слабости электромагнитных сил связи можно использовать как первое приближение нерелятивистское описание Основным состоянием является -волна, но сверхтонкие эффекты расщепляют триплетное состояние ортопозитрония если использовать обозначение и синглетное состояния парапозитрония. Упрощенные волновые функции, которые дают правильные квантовые числа, в случае неподвижной оси квантования спина запишутся в виде

Волновые функции зависят только от абсолютной величины относительного импульса q, величины или (q)] обозначают операторы рождения электрона (позитрона) с импульсом q с проекцией спина ±1/2. Операция зарядового сопряжения имеет вид

При действии на эти состояния произвольная фаза исчезает, и мы получаем

Знаки объясняются следующим образом. Зарядовое сопряжение заменяет электрон на позитрон, в результате чего относительный импульс меняет знак, что в случае -волны дает множи ель спиновые индексы меняются местами, что дает знак плюс (минус) для триплетного (синглегного) состояния. Наконец, имеется еще один знак минус, обусловленный антикоммутацией операторов Так косвенно и неожиданно проявляется статистика Ферми — Дирака

Состояния позитрония неустойчивы и медленно распадаются с испусканием фотонов Из выражения (3.182) следует, что электромагнитный потенциал является нечетным относительно . В действительности это есть не что иное,

как условие инвариантности электромагнитного взаимодействия относительно Следовательно, для -фотонного состояния мы имеем

Таким образом, ортопозитроний должен распадаться на нечетное число фотонов, а парапозитроний — на четное Однофотонный распад в ортосостоянии невозможен в силу закона сохранения энергии-импульса. Оно должно распадаться по крайней мере на три фотона, в то время как парапозитроний может распадаться на два фотона и. следовательно, имеет гораздо более короткое время жизни Поскольку константа взаимодействия является постоянной тонкой структуры а, можно предположить, что для времени жизни выполняется соотношение . Вычислением этих величин мы займемся в гл. 5. В низшем порядке по а имеем

Случайно оказалось так, что численное значение на порядок меньше, чем . Сверхтонкое расщепление мы рассмотрим в гл, 10 (см, т. 2 настоящей книги).