2.3. ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ

Уравнение Дирака нашло важное применение при рассмотрении тонкой структуры атомных спектров. Хорошо известно, что для изучения этого вопроса с успехом используются квантовая механика и ее релятивистские обобщения, вплоть до учета радиационных поправок. Поскольку метод Фолди—Ваутхайзена является сложным, особенно существенно то, что в статическом кулоновском поле уравнение Дирака имеет точное решение, прекрасно согласующееся с экспериментальными данными для водородоподобных атомов. Не следует ожидать, что трудности, указанные в разд. 2.2, будут играть здесь значительную роль. В атомной

физике характерным масштабом длины является боровский радиус который в 137 раз больше, чем длина волны электрона. В случае тяжелых атомов указанные трудности становятся существенными и приходится разрабатывать иные методы.

2.3.1. Сравнение нерелятивистского спектра с релятивистским

Напомним нерелятивистский результат, вытекающий из уравнения Шредингера, явившийся триумфом квантовой Механики на первых порах ее развития. Волновое уравнение имеет вид

где

а — приведенная масса системы электрон—атомное ядро:

Условие квантования требует, чтобы величина была целым неотрицательным числом (число нулей волновой функции). Уровни энергии определяются выражением

Постоянная Ридберга численно равна 13,6 эВ.

Волновая функция -состояния в начале координат равна

Поскольку для данного значения число может принимать целые значения от 0 до каждый уровень оказывается вырожденным с кратностью Это связано с динамической симметрией кулоновской задачи, соответствующей группе вращений в -мерном пространстве. Паули и Фок использовали данную симметрию в начале развития квантовой механики для алгебраического вывода формулы спектра Бальчера (2 83). В релятивистском рассмотрении вырождение снимается, что приводит к тонкому расщеплению спектра

Пренебрегая на время эффектами, связанными со спином, рассмотрим результаты, предсказываемые теорией Клейна — Гордона, когда электромагнитное взаимодействие введено минимальным

образом. Пусть Е — это полная энергия, равная сумме энергии покоя и отрицательной энергии связи . Тогда мы имеем

или

Последнее уравнение формально совпадает с уравнением Шредингера, если произвести следующие замены:

При этом орбитальное квантовое число сдвигается на величину причем

Главное квантовое число сдвигается на ту же величину, по скольку должно быть целым. Следовательно, уровни энергии можно записать в виде

или

В этом выражении второй член совпадает с нерелятивистской энергией связи, а третий член снимает -вырождение Мы не будем обсуждать паталогические явления, возникающие в этом случае, а именно сингулярное поведение волновой функции в начале координат, обусловленное притягивающей частью взаимодействия — , или катастрофу, которая имеет место при ( и, следовательно, становятся комплексными!). Выражение (2 86) плохо согласуется с экспериментальными данными. Это означает, что нельзя пренебрегать эффектами, связанными со спином.