Глава I. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

В настоящей главе мы рассмотрим лагранжев формализм в классической механике и его обобщение на системы с бесконечно большим числом степеней свободы, уделяя особое внимание симметриям и законам сохранения в их локальной форме. Используя как пример электродинамику, мы введем функции Грина и пропагаторы. Затем разберем простейшие задачи теории излучения и завершим главу анализом противоречий в проблеме самодействия. Поскольку в современных теоретических построениях методы классической теории поля играют все возрастающую роль, в последующих главах мы будем возвращаться к рассмотрению этих методов.

1.1. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

1.1.1. Классическое движение

В классической механике уравнения движения следуют из принципа наименьшего действия. Если q — конечный набор конфигурационных переменных, — соответствующие скорости в момент времени t, то действие определяется следующим образом:

Функция Лагранжа L зависит от координат, скоростей, а в некоторых случаях также явно и от времени для незамкнутых систем, т. е. для систем, подверженных действию внешних сил. Принцип наименьшего действия гласит, что среди всех траекторий q (t), проходящих через точку в момент времени и точку в момент времени физическая траектория дает стационарное значение действия. Это стационарное значение является единственным минимумом, если достаточно близки друг к другу. Поэтому действие следует рассматривать как функционал от всех регулярных функций , удовлетворяющих граничным условиям Если — истинная траектория, то близкая

к ней траектория запишется как Разлагая действие по степеням в виде

принцип наименьшего действия можно записать следующим образом:

Чтобы сравнить это выражение с уравнениями Эйлера—Лагранжа, заметим, что, поскольку

вариация действия (1.1) записывается в виде

Интегрирование по частям последнего члена с учетом граничных условий приводит к известному уравнению

которое в случае нескольких степеней свободы рассматривается как векторное. В простейших случаях величина L представляет собой разность между кинетической энергией, квадратичной по скоростям, и потенциальной энергией.

Уравнения не изменятся, если к величине L добавить полную производную по времени, при этом действие изменится лишь за счет вкладов, зависящих от граничных условий. Отсюда видно, что функция Лагранжа не просто характерная величина, определяющая движение, она является основой для более общего формализма, развитого, в частности, Картаном.

Гамильтонов формализм опирается на следующее определение сопряженного импульса:

Допустим, что это уравнение можно обратить, т. е. выразить скорости через импульсы и координаты. Случай, когда якобиан этого преобразования равен нулю, мы рассмотрим ниже. Функцию Гамильтона вводят о помощью преобразования Лежандра:

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Дифференцирование этого выражения дает

Теперь, используя выражение для сопряженного импульса, находим следующие уравнения:

В более общем случае вариация функции, заданной в фазовом пространстве (т. е. в пространстве переменных ), имеет вид

Мы ввели здесь скобки Пуассона

Из (1.9) следует, что функция не зависящая явно от времени и такая, что ее скобка Пуассону с Н равна нулю, является интегралом движения.

Замечательно то, что уравнения Гамильтона (1.8) также следуют из принципа стационарного действия. Действительно, подставим в (1.1) выражение

тогда действие примет вид

    (111)

и его можно рассматривать как функционал от независимых функций . Предположим, как и выше, что без каких-либо ограничений на справедливы равенства Тогда будем иметь

Интегрируя по частям член получаем

Если положить мы снова получим уравнения (1.8). Следует заметить, что действие можно также записать в виде

Следовательно, в действии величины и q играют аналогичную роль

Вычислим теперь действие I на стационарной траектории. Предположим, что точка достаточно близка к , т.е. стационарная траектория между ними единственна, и будем обозначать действие через или в более сокращенной форме — через

Случаи, когда за данный отрезок времени через две точки проходит несколько траекторий являются не столь уж редкими. Например, в случае гармонического осциллятора через начало координат проходит бесконечно много траекторий с интервалами во времени, равными полупериоду.

Нетрудно убедиться в справедливости выражения

где

Кроме того, если функция Лагранжа зависит явно от некоторого параметра имеем

здесь производная в правой части выражения отвечает явной зависимости L от а. Чтобы показать, как можно применить этот результат, добавим к функции Лагранжа член который приведет к появлению внешней силы в уравнениях движения. Действие становится функционалом от F (t), и из (1.13) для получаем

где - траектория в присутствии силы F (обе части этого равенства можно вычислить также для . Из предыдущего не следует, что это лучший способ решения уравнений движения, но он иллюстрирует метод производящих функций, с которыми мы будем часто вталкиваться в последующем изложении.

Раесмотрим, например, чаетицу в массой , движущуюся вдоль прямой под действием данной силы F (t). В этом случае функция Лагранжа равна

Решение уравнения движения можно записать в виде

где - функция Грина, симметричная по отношению к перестановке t и t' и обращающаяся в нуль при Функция Грина удовлетворяет уравнению

Здесь — обобщенная функция Дирака (дельта-функция), производная ступенчатой функции . Для G получаем выражение

Действие вдоль траектории записывается в виде

Мы видим, что траектория определяется функциональной производной Кроме того, полагая получаем

В качестве второго примера напомним, что дает этот формализм применительно к свободной релятивистской частице. Пусть х и - соответственно координата и скорость частицы, обозначавшиеся до сих пор через q и q. Пространственно-временной интерзал запишем в виде

где — собственное время вдоль траектории, а с — скорость света. В -векторных обозначениях

и

причем метрический тензор, используемый для опускания и поднимания лоренцевых индексов, имеет вид

Интервал инвариантен относительно преобразований Пуанкаре, состоящих из трансляции (а) и однородных преобразований Лоренца ():

Любое однородное преобразование Лоренца может быть представлено в виде произведения обычного вращения и частного преобразования Лоренца (или буста) вдоль направления

где -скорость движущейся системы отсчета. Четырехмерная скорость (-скорость)

представляет собой времени подобный вектор постоянной длины с. Его производная по собственному времени, ортогональна -вектору и, следовательно, пространственно-подобна. Для -импульса свободной частицы выполняются соотношения:

Заметим, что Найдем теперь соответствующую функцию Лагранжа, предполагая 1) действие релятивистски-инпариантным и 2) L, зависящим лишь от первых производных по координатам. Разумеется, последнее требование заимствовано из нерелятивистской механики и означает, что для описания движения достаточно знать координаты и скорость. Это требование в более общих случаях может быть ослаблено, чтобы удовлетворить условию конечности скорости распространения сигналов в релятивистскои теории. В случае свободной частицы независимость от выбора начала отсчета пространственных и временных координат приводит к тому, что L может зависеть только от первых производных и что в пределе мы получаем с точностью до полной производное по времени.

Ясно, что выражение удовлетворяет требованиям 1) и 2), причем постоянная а определяется нерелятивистским пределом. Таким образом, мы имеем

Формулы для импульса и энергии следуют из общих выражений

и согласуются, безусловно, с (1.25). Уравнение свободного движения записывается в виде так что обобщенная сила в нем равна нулю. Действие на траектории

является лоренцевым скаляром. Стандартные соотношения

означают, что релятивистский импульс представляет собой -вектор.

Можно использовать и другую форму записи действия, а именно

где — вообще говоря, произвольный параметр на траектории. Из уравнения движения полученного из требования стационарности действия следует, что пропорционально собственному времени и может быть выбрано таким образэм, чтобы . В последующем изложении, за исключением особо оговоренных случаев, мы будем полагать

Одно из достоинств формализма Лагранжа — Гамильтона состоит в том, что он допускает широкий класс преобразований, Оставляющих структуру уравнений движения инвариантной. Эти преобразования выходят за рамки простой замены параметризации конфигурационного пространства, поскольку они смешивают координаты и импульсы. Преобразование (возможно, зависящее от времени) является каноническим, если существует функция от (и, возможно, от t) такая, что в новых переменных уравнения движения имеют прежний вид:

(здесь, как и выше, индексы опущены). Достаточное условие для выполнения этого свойства следует из принципа наименьшего действия. Мы требуем, чтобы дифференциальные формы отличались не более, чем на полный дифференциал. В свою очередь это означает равенство внешних производных от этих форм:

Данное условие подразумевает, что скобки Пуассона от функций, заданных в фазовом пространстве в переменных , равны скобкам Пуассона в новых переменных

Из (1.28) можно также вывести уравнения для , которые в силу (1.29) образуют интегрируемую систему:

Рассматривая (1.29) и (1.30), замечаем, что типичным примером канонического преобразования является решение уравнений движения, в которых соответствуют начальным данным в момент времени — положению в фазовом пространстве В момент времени t. Очевидно, что в этом случае и что скобки Пуассона остаются инвариантными.

Предположим, что Н не зависит от времени функций выраженные через q, и t являются константами движения. Исключая t, получаем (локальных) констант движения. Лишь небольшое их число можно рассматривать как функции, хорошо определенные во всем фазовом пространстве Т орема Пуанкаре утверждает, что последние связаны с симметриями движения

Разумеется, канонические преобразования не ограничиваются решениями уравнений движения Их множество образует бесконечную группу. В заключение заметим, что рассматривая соотношения (1 28) при фиксированном времени и беря внешнюю степень обеих частей, можно показать, что канонические преобразования сохраняют меру фазового пространства; это есть не что иное, как теорема Лиувнлля.