26. Пэнлеве ${ }^{1}$ ) первый заметил, что в некоторых случаях эмпи рические законы трения могут привести к затруднениям логического порядка.

Можно сказать, что цель построения схемы любого механического явления заключается в том, чтобы указать однозначное распределение ускорений отдельных точек данной материальной системы, когда известны свойства связей и действующих на систему сил и задано начальное состояние движения. Однако можно привести примеры материальных систем (мы укажем здесь один простейший, принадлежащий самому Пэнлеве), для которых при вполне определенных силах и начальных условиях движения последовательное применение зако-

нов механики приводит к заключению, что невозможно определить ускорения в согласии с законами трения или можно дать несколько различных распределений ускорений, которые все одинаково справедливы. В результате, как это может показаться с первого взгляда, перестает оправдываться так называемый механический детерминизм.

Необходимо, однако, сейчас же заметить (и мы разъясним это на приводимом ниже примере), что такое несоответствие можно объяснить, отбрасывая гипотезу о непрерывности явлений движения или, точнее, допуская, что в указанных выше особых случаях наступают почти мгновенно резкие изменения состояния движения. Они-то и служат отправной точкой для получения уравнений, определяющих распределение ускорений, совместимое с законами трения. Важно заметить, что такие резкие изменения состояния движения часто встречаются в действительности и изучаются в теории так называемого импульсивного движения (ср. гл. XII).
27. Пример, который мы хотим здесь рассмотреть, относится к круглому тяжелому диску, который, будучи вынужден двигаться в вертикальной плоскости, может катиться и скользить по горизонтальной неподвижной и шероховатой прямой $8 \xi$; как уже предполагалось в § 6 , но с той существенной разницей, что диск не является однородным. Обозначим попрежнему через $r$ радиус диска, через $V$ скорость (горизонтальную) геометрическую центра $C$, через $\omega-$ угловую скорость (со знаком в смысле, установленном в п. 14) и введем координаты $x_{0}, y_{0}$ центра тяжести $G$ относительно $C$ (точнее, относительно двух осей с началом в $C$, параллельных и одинаково направленных с неподвижными осями $\mathbf{Q \xi \eta}$ ) и расстояние $p=C G$ центра

тяжести от $C$; обозначив через $\theta$ угол полупрямой $C G$ с осью $\xi$, будем иметь $x_{0}=\rho \cos \theta, \quad y_{0}=\rho \sin \theta$ и, следовательно,
\[
\dot{x}_{0}=-\omega y_{0}, \quad \dot{y}_{0}=\omega x_{0},
\]

так как $\omega=\dot{\theta}$. Разлагая движение диска на поступательное движение, определяемое движением центра $C$, и вращательное движение вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (т. I, ч. 1, гл. III § 5, п. 14), мы найдем для проекций скорости точки $G$ на оси $\& \xi$ и $\& \eta$ выражения $V-\omega y_{0}, \omega x_{0}$; если представим себе, что диск находится под действием исключительно

своего веса $p=m g$ и реакции опоры (в точке $O$ ) с составляющими $A$ (трение скольжения) и $N$ (нормальная реакция), то уравнения движения центра тяжести примут вид:
\[
m \frac{d}{d t}\left(V-\omega y_{0}\right)=A, \quad m \frac{d}{d t}\left(\omega x_{0}\right)=N-p .
\]

Результирующий момент двух внешних сил относительно центра тяжести $G$ сводится к моменту реакции и имеет величину $\left(r+y_{0}\right) A-x_{0} N$, так что скалярное уравнение моментов относительно центра тяжести принимает вид
\[
m \delta^{2} \dot{\omega}=\left(r+y_{0}\right) A-x_{0} N .
\]

Исключая угловое ускорение $\dot{\omega}$ из этого уравнения и из второго из уравнений (61) и подставляя вместо $\dot{x}_{0}$ его значение – $\omega y_{0}$, мы придем к уравнению
\[
m y_{0} \omega^{2}-\frac{x_{0}}{\delta^{2}}\left\{\left(r+y_{0}\right) A-x_{0} N\right\}-N+p=0 .
\]

Покажем теперь, как можно осуществить и притом сколь угодно большим числом способов неоднородный диск и сообщить ему такое движение, что уравнение (63) будет несовместимо с законами трения.

Прежде всего представим себе такое состояние движения: 1) пусть диск находится в соприкосновении со своей опорной прямой и расположен так, что центр тяжести его $G$ лежит на горизонтальной полупрямой, проведенной через $C$ в сторону возрастающих абсцисс, так что вначале имеем $x_{0}=\rho, y_{0}=0 ; 2$ ) в начальный момент $t_{0}$ сообщается диску поступательная скорость $V>0$ вдоль опорной прямой ( $\omega_{0}=0$ ).

В этом случае уравнение (63) для начального момента, когда $A=-f N$, дает
\[
N\left\{1-\frac{p}{8^{2}}(\rho+f r)\right\}=p ;
\]

покажем, что, распределяя подходящим образом массу диска, всегда можно добиться того, чтобы количество
\[
H=\frac{\rho}{\delta^{2}}(p+f r)
\]

было больше единицы, в силу чего из уравнения (64) будем иметь, что $N<0$; это неравенство противоречит предположению, что диск действительно опирается на прямую.

Чтобы показать, как это достигается, обратимся к особенно простому случаю, когда неоднородность диска происходит от одной единственной массы $m_{1}$, присоединенной в некоторой (эксцентричной) точке $P$ однородного диска с массой $m_{0}$. Обозначив через $\rho_{1}$ расстояние $C P$, которое мы будем предполагать меньшим $r$, и положив $m=m_{0}+m_{1}$, будем иметь прежде всего
\[
m \rho=m_{1} \rho_{1},
\]

или же, обозначая через $k$ отношение $m_{1} / m_{0}$,
\[
\rho=\frac{k}{1+k} \rho_{1} \text {. }
\]

Для вычисления $\delta^{2}$, квадрата радиуса инерции диска, вспомним прежде всего, что для однородного диска радиуса $r$ и массы $m_{0}$ момент инерции относительно центра $C$ (т. I, гл. X, п. 33) равен $m_{0} r^{2} / 2$, а относительно точки $G$, по теореме Гюйгенса, он равен
\[
m_{0}\left(\frac{r^{2}}{2}+p^{2}\right)
\]

так что момент инерции диска с добавочной массой $m_{1}$ относительно его центра тяжести $G$ определится равенством
\[
m \delta^{2}=m_{0}\left(\frac{r^{2}}{2}+\rho^{2}\right)+m_{1}\left(\rho_{1}-\rho\right)^{2} .
\]

Отсюда, принимая во внимание равенство (66), получим
\[
\delta^{2}=\frac{1}{1+k}\left(\frac{r^{2}}{2}+\frac{k}{1+k} \rho_{1}^{2}\right),
\]

и, наконец, для количества $H$, определяемого равенством (65), получим выражение
\[
H=\frac{2 k_{\rho_{1}}\left\{k_{\rho_{1}}+(1+k) f r\right\}}{2 k \rho_{1}^{2}+(1+k) r^{2}} .
\]

Будем теперь рассматривать $H$ как функцию одного аргумента $k$, считая заданными $r, f$ и $\rho_{1}$, что равносильно тому, что однородный диск и положение $P$ добавочной массы $m_{1}$ считаются неизменными, а масса $m_{1}$ меняется.

Так как речь идет о рациональной функции, всегда положительной при $k>0$ и стремящейся к бесконечности вместе с $k$, то непосредственно ясно, что если взять достаточно большое $k$, т. е. достаточно большую добавочную массу $m_{1}$, то будем иметь $H>1$ и, следовательно, $N<0$, что противоречит экспериментальным данным.
28. Это противоречие, как уже отмечалось в общем случае в п. 26 , можно устранить, если принять во внимание, что в силу самого способа, каким диск приводится в движение, возникают мгновенные реакции, резко изменяющие начальное состояние движения.

Вот более точное истолкование явления, хорошо согласующееся с экспериментальными данными: в тот самый момент, когда диску сообщается толчок вдоль горизонтальной опоры, в течение весьма короткого промежутка времени происходят сложные явления действия упругих сил, которые можно схематически представить в виде системы импульсов, имеющих определенную результирующую и определенный результирующий момент. Эта система импульсов вызывает почти мгновенное уничтожение скорости скольжения и в то же время – возникновение определенной угловой скорости $\omega_{0}$, бла-

годаря чему состояние движения сразу приводится к виду, совместимому с экспериментальными законами трения.

Мы не будем дальше задерживаться на этом вопросе и ограничимся указанием на особенно простой пример, данный Клеином ${ }^{1}$ ).