17. Общий случай. Рассмотрим два тела, $S_{1}, S_{2}$, которые, находясь в каком угодно относительном движении, сталкиваются в заданный момент $t_{0}$. Каждое из них получает со стороны другого некоторую систему импульсов; задача заключается в том, чтобы изучить последующие резкие изменения скоростей или, другими словами, определить состояния движения тел после удара, если известны их состояния движения до удара.

Явление удара оказывается несомненно очень сложным, и относительно его последовательных фаз, за очень короткий промежуток времени г, в течение которого оно происходит, можно повторить рассуждения, уже примененные в п. 4 в элементарном случае центрального и прямого удара. Мы будем придерживаться здесь схемы, предложенной Пуассоном, и попробуем раскрыть сложный ход явлений, предположив прежде всего, что оба тела, $S_{1}, S_{2}$, каждое из которых до удара находится в каком угодно состоянии движения, в момент $t_{0}$ сталкиваются только в одной точке $P$, правильной для поверхностей обоих тел; эти поверхности будут поэтому иметь в этой точке в момент удара одну и ту же касательную плоскость.

Допустив абсолютную гладкость двух поверхностей, мы будем иметь, как необходимое следствие, что для каждого из тел система импульсов, испытываемых вследствие удара, сводится к единственному импульсу, приложенному в точке $P$ а направленному по нормали к поверхности, проведенной внутрь тела. В соответствии с принципом равенства действия и противодействия надо принять, что величина I импульса, заранее неизвестная, будет одной и той же для обоих тел.

Пусть теперь (фиг. 31) для каждого из двух тел $S_{j}(j=1,2) m_{j}$ есть масса, $\boldsymbol{v}_{j}$ — скорость центра тяжести $G_{j}, \omega_{j}$ — угловая скорость, $K_{j}$-результирующий момент количеств движения относительно центра тяжести. Если, далее, обозначим через $\boldsymbol{n}_{j}$ единичный вектор нормали, внутренней для поверхности, в точке $P_{j}$, в которой происходит удар, то импульс неизвестной величины $I$, испытываемый телом вследствие удара, можно будет Фиг. 31. представить в виде $\boldsymbol{I n}_{j}$; с другой стороны, момент $\boldsymbol{K}_{j}$ связан с угловой скоростью $\omega_{j}$ соответствующей томографией инерции $\sigma_{j}$, так что будем иметь
\[
\boldsymbol{K}_{j}=\sigma_{j}\left(\boldsymbol{\omega}_{j}\right) \quad(j=1,2) ;
\]

проектируя это векторное равенство на главные оси инерции относительно центра тяжести и обозначая через $A_{j}, B_{j}, C_{j}$ соответствующие моменты (главные) инерции, через $p_{j}, q_{j}, r_{j}$ аналогичные проекции вектора $\omega_{j}$, будем иметь
\[
K_{j \mid x}=A_{j} p_{j}, \quad K_{j \mid y}=B_{j} q_{j}, \quad K_{j \mid z}=C_{j} r_{j} \quad(j=1,2) .
\]

При этих обозначениях основные уравнения импульсивного движения (7), (16), составленные для каждого из двух тел, дадут четыре векторных уравнения:
\[
\begin{array}{c}
m_{j} \Delta \boldsymbol{v}_{j}=I \boldsymbol{n}_{j}, \\
\Delta \boldsymbol{K}_{j}=I \overrightarrow{G_{i} P}{ }_{j} \times \boldsymbol{n}_{j} \quad(j=1,2),
\end{array}
\]

которые после разрешения их относительно $\Delta \boldsymbol{v}_{j}, \Delta \omega_{j}$ принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\Delta \boldsymbol{v}_{j}=\frac{1}{m_{j}} I \boldsymbol{n}_{j}, \\
\Delta \omega_{j}=I \sigma^{-1}\left[{\overrightarrow{G_{j} P}}_{j} \times n_{j}\right] \\
\end{array}
\]

где, отмечая, как обычно, знаками — и + кинематические характеристики, относящиеся к двум состояниям движения соответственно до

и после удара, мы положили
\[
\Delta \boldsymbol{v}_{j}=\boldsymbol{v}_{j}^{+}-\boldsymbol{v}_{j}^{-}, \Delta \omega_{j}=\omega_{j}^{+}-\omega_{j}^{-} \quad(j=1,2) .
\]

Заметим теперь же, что из уравнений ( $\left.29^{\prime}\right)$, так как импульс направлен по общей нормали к поверхностям обоих тел, следует для каждого из них инвариантность по отношению к удару касательной составляющей скорости центра тяжести.

Непосредственно видно, что уравнения $\left(29^{\prime}\right)$, (30) ) не разрешают еще вполне задачи, так как в выражениях, которые они дают для изменений характеристических векторов $\boldsymbol{v}_{j}$, $\boldsymbol{\omega}_{j}$, есть еще неизвестная величина $I$.импульса. Для определения этой неизвестной $I$ необходимо ввести какое-нибудь новое количественное условие, которое, конечно, может быть получено только из опыта.

Для этой цели будем рассматривать скорость, которую имеет в любой момент до или после удара точка $P_{j}$ и которая, как известно, определяется посредством соответствующих характеристических векторов выражением
\[
\boldsymbol{\eta}_{j}+\boldsymbol{\omega}_{j} \times{\overrightarrow{G_{j} P}}_{j} \quad(j=1,2),
\]

и, обозначив через $
u_{j}$ ее нормальную составляющую по ориентированному направлению единичного вектора $\boldsymbol{n}_{j}$, т. е. положив
\[
\begin{aligned}
v_{j} & =\boldsymbol{v}_{j} \cdot \boldsymbol{n}_{j}+\left[\omega_{j} \times \overrightarrow{\vec{G}_{j} P_{j}}\right] \cdot \boldsymbol{n}_{j}= \\
& =\boldsymbol{v}_{j} \cdot \boldsymbol{n}_{j}+\omega_{j} \cdot\left[\overrightarrow{G_{j} P} \times \boldsymbol{n}_{j}\right],
\end{aligned}
\]

введем скалярную величину
\[
w=v_{1}+v_{2} .
\]

Если мы примем во внимание, что два единичных вектора $\boldsymbol{n}_{1}, \boldsymbol{n}_{2}$, направленных каждый внутрь соответствующего тела, в момент $t_{0}$ удара будут прямо противоположны, то увидим, что величина $w$ измеряет непосредственно до и непосредственно после $t_{0}$ составляющую скорости (относительной) $P_{2}-P_{1}$ точки $P_{2}$ относительно точки $P_{1}$ по ориентированному направлению $\boldsymbol{n}_{2}$ (или, что то же, составляющую по $\boldsymbol{n}_{1}$ скорости точки $P_{1}$ относительно $P_{2}$ ). Так как характер явления требует, чтобы непосредственно до удара оба тела стремились сблизиться, то следует принять $w^{-}<0$. Если теперь, отказываясь от анализа тех сложных явлений деформации и последующего восстановления (частичного или полного), которые сопровождают удар, мы ограничимся совокупной оценкой их эффекта, то окажется естественным обобщение гипотезы Ньютона (п. 4), состоящее в допущении, что удар вызывает обращение стороны относительной нормальной скорости двух точек $P_{1}, P_{2}$ и, одновременно, уменьшение соответствующей величины. Другими словами, нам придется положить
\[
w^{-}=-e w^{-},
\]

где $e$ обозначает коэффициент восстановления, который, как было указано в п. 4, заключен между 0 и 1 и зависит исключительно от физического строения соударяющихся тел. При $e=0$ (неупругие тела) нормальная относительная скорость после удара $w^{+}$исчезает и в этом случае оба тела после удара остаются соединенными; наоборот, в случае $e=1$ (тела совершенно упругие) нормальная относительная скорость после удара сохраняет то же самое абсолютное значение, что и до удара, но с обратным знаком (отталкивание).

Уравнение (32) как раз и есть то новое эмпирическое уравнение, которое позволяет вполне разрешить задачу. Из него следует
\[
\Delta w=-(1+e) w^{-} .
\]

С другой стороны, достаточно вспомнить, что при ударе единичные векторы $n_{j}$ не изменяются и точки $P_{j}, G_{j}$ не смещаются, чтобы, подставляя в равенство
\[
\Delta w=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}
\]

вместо $\Delta v_{1}, \Delta v_{2}$ их выражения, даваемые уравнениями (31), и учитывая уравнения $\left(29^{\prime}\right),\left(30^{\prime}\right)$, получить уравнение
\[
\Delta w=k^{2} I,
\]

где $k^{2}$ обозначает существенно положительную постоянную
\[
k^{2}=\sum_{j=1}^{2}\left\{\frac{1}{m_{j}}+\sigma_{j}^{-1}\left[{\overrightarrow{G_{j} P}}_{j} \times \boldsymbol{n}_{j}\right] \cdot\left[\overrightarrow{G_{j} P_{j}} \times \boldsymbol{n}_{j}\right]\right\} ;
\]

эта постоянная, если через $\alpha_{j}, \beta_{j}, \gamma_{i}$ обозначим составляющие $\boldsymbol{n}_{j}$ и через $\dot{x}_{j}, y_{j}, z_{i}$ — координаты точки $P_{j}$ относительно соответствующей системы осей инерции с началом в центре тяжести, может быть выражена через данные задачи в виде
\[
k^{2}=\sum_{j=1}^{2}\left\{\frac{1}{m_{j}}+\frac{\left(y_{j} \gamma_{j}-z_{j} \beta_{j}\right)^{2}}{A_{j}}+\frac{\left(z_{j} \alpha_{j}-x_{j} \gamma_{j}\right)^{2}}{B_{j}}+\frac{\left(x_{j} \beta_{j}-y_{j} \alpha_{j}\right)^{2}}{C_{j}}\right\} .
\]

Из сравнения уравнений $\left(32^{\prime}\right)$, (33) получим
\[
I=-\frac{i+e}{k^{2}} w^{-} ;
\]

достаточно подставить это значение в уравнения $\left(29^{\prime}\right)$, (30′), чтобы получить формулы, разрешающие задачу.

Удар тел друг о друга называется прямым, когда скорости центров тяжести до удара $\boldsymbol{v}_{j}^{-}$имеют направление общей нормали к двум поверхностям в точке $P$. В этом случае из упомянутой выше неизменности касательной составляющей скоростей $\boldsymbol{v}_{j}$ следует, что ско-

рости после удара $\boldsymbol{v}_{j}^{+}$будут направлены параллельно той же прямой, что и до удара.

Удар называется центральным, если общая нормаль к поверхностям обоих тел в точке $P$ проходит через центры тяжести; этот случай только и возможен, если оба соударяющиеся тела представляют собой однородные шары.

Тогда будем иметь $\overrightarrow{G_{j} P}{ }_{j} \times \boldsymbol{n}_{j}=0$, так что из уравнения (30) будет следовать, что $\Delta \omega_{j}=0$; это значит, что при центральном ударе угловые скорости $\omega_{j}$ обоих тел остаются неизменными, откуда следует, что скорость любой точки $Q$ каждого из двух тел, определяющаяся, как известно, выражением
\[
\boldsymbol{v}_{j}+\overrightarrow{G_{j} Q} \times \boldsymbol{\omega}_{j} \quad(j=1,2),
\]

испытывает при ударе такое же приращение, как и скорость соответствующего центра тяжести. Поэтому, в частности, при центральном ударе касательная составляющая скорости каждой отдельной точки (т. е. составляющая, параллельная касательной плоскости, общей к поверхностям обоих тел) остается неизменной.
18. Удар о стенку. Как и в с.учае центрального и прямого удара (п. 5), общую задачу об ударе какого-нибудь тела $S_{1}$ о неподвижную стенку можно рассматривать как предельный случай задачи, разобранной в предыдущем пункте, если предположить, что тело $S_{3}$ имеет очень большую массу $m_{2}$ (в пределе — бесконечно большую), находится в покое и закреплено неподвижно ( $\boldsymbol{v}_{2}=\omega_{2}=0$ ). Тогда будут справедливы уравнения ( $\left.29^{\prime}\right)$, $\left(30^{\prime}\right)$ при $j=1$ и сохранят свое значение также и уравнения (32), (34), если рассматривать ш как составляющую по $n_{1}$, абсолютной скорости точки $P_{1}$.

Из уравнения (32) следует, что тело отталкивается от препятствия, а из уравнения (34) можно определить значение $I$, которое необходимо подставить в уравнения ( $\left.29^{\prime}\right),\left(30^{\prime}\right)$ с индексом 1 , чтобы получить окончательные формулы.

Если мы ограничимся рассмотрением центрального удара, который только и является возможным, когда речь идет об ударе шара о стенку, то, как и в аналогичном случае удара двух тел, нандем, что касательная составляющая скорости центра тяжести останется неизменной, а нормальная составляющая в силу закона Ньютона изменит свое направление на противоположное и уменьшится по величине в отношении $e: 1$. Поэтому отношение касательной составляющей к нормальной, т. е. тангенс угла между скоростью и нормалью к стенке в точке $P$, изменится в обратном отношении $1: e$. Таким образом, мы видим, что для не вполне упругого тела при центральном ударе о стенку угол отражения будет больше угла падения, между тем как в идеальном случае совершенно упругих тел ( $e=1$ ) мы будем иметь равенство этих углов.

19. ПотЕРя КИНЕТИчЕСКОЙ ЭНЕРгиИ ПРИ УДАРЕ ДвУх тЕЛ. Возьмем снова разрешающие формулы общей задачи об ударе двух тел $S_{1}, S_{2}$ (п. 17) для вычисления, как и в элементарном случае (п. 6), изменения полной живой силы, которое происходит при ударе.

Для каждого тела живая сила определяется (гл. IV, п. 5) из равенства
\[
T_{j}=\frac{1}{2} m_{j} v_{j}^{2}+\frac{1}{2} K_{j} \cdot \omega_{j} \quad(j=1,2),
\]

поэтому, принимая во внимание, что $\boldsymbol{K}_{j} \cdot \omega_{j}=A_{j} p_{j}^{2}+B_{j} q_{j}^{2}+C_{j} r_{j}^{2}$, и применяя тождества
\[
\begin{aligned}
\Delta\left(v_{j \mid x}\right)^{2} & =\left(v_{j \mid x}^{+}+v_{j \mid x}^{-}\right) \Delta v_{j \mid x}, \\
\Delta p_{j}^{2} & =\left(p_{j}^{+}+p_{j}^{-}\right) \Delta p_{j}
\end{aligned}
\]

и другие аналогичные, получим
\[
\Delta T_{j}=\frac{1}{2} m_{j} \Delta \boldsymbol{v}_{j} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{j}^{+}+\boldsymbol{\tau}_{j}^{-}\right)+\frac{1}{2} \Delta \boldsymbol{K}_{j} \cdot\left(\omega_{j}^{+}+\omega_{j}^{-}\right),
\]

или на основании уравнений (29), (30), (31)
\[
\begin{array}{c}
-\Delta T_{j}=-\frac{1}{2} I \boldsymbol{n}_{j} \cdot\left(v_{j}^{+}+v_{j}^{-}\right)-\frac{1}{2} I\left[{\overrightarrow{G_{j} P}}_{j} \times \boldsymbol{n}_{j}\right] \cdot\left(\omega_{j}^{+}+\omega_{j}^{-}\right)= \\
=-\frac{1}{2} I\left(v_{j}^{+}+v_{j}^{-}\right) .
\end{array}
\]

Отсюда, суммируя по индексу $j$, вводя относительную нормальную скорость $w$ и принимая во внимание равенство (32), для потери полной живой силы $T=T_{1}+T_{2}$ мы получим выражение
\[
-\Delta T=-\frac{1}{2} I \cdot\left(w^{+}+w^{-}\right)=-\frac{1}{2}(1-e) I w^{-},
\]

которое, если подставить вместо $I$ его значение, определяемое формулой (34), принимает окончательный вид:
\[
-\Delta T=\frac{1}{2} \frac{1-e^{2}}{k^{2}}\left(w^{-}\right)^{2} .
\]

Таким образом, мы видим, что для несовершенно упругих тел мы имеем действительную потерю живой силы, которая будет тем меньше, чем больше тела приближаются к идеальному случаю совершенно упругих тел, когда мы имели бы сохранение кинетической энергии.

В случае центрального и прямого удара, поскольку в силу первого условия оба векторных произведения ${\overrightarrow{G_{j} P}}_{j} \times \boldsymbol{n}_{j}$ обращаются в нуль, а в силу второго относительная нормальная скорость по абсолютной величине равна $\left|v_{1}-v_{2}\right|$, постоянная $k^{2}$ принимает значение
\[
\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1} m_{2}},
\]

и уравнение (35) приводится к виду
\[
-\Delta T=\frac{1}{2}\left(1-e^{2}\right) \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(v_{1}^{-}-v_{2}^{-}\right)^{2}
\]

в согласии с равенством (15′), найденным прямым путем в п. 6 .
20. КОЛЕсо, УДаряюЩЕеСЯ о ПРЕПЯтСТВИЕ. В виде Приложения полученных результатов рассмотрим колесо, которое, имея центр тяжести в своем центре и оставаясь в вертикальной плоскости, катится без скольжения по горизонтальной плоскости и неожиданно ударяется некоторой точкой $P$ своей окружности о неподвижное препятствие. Предположим, что удар происходит без трения и колесо можно рассматривать как . совершенно упругое тело ( $e=1$ ).

Представим себе, что положение точки $P$ в момент удара определяется углом $\alpha$, который радиус $O P(ф и г .33)$ образует с вертикальным радиусом $O A$, идущим к точке касания колеса с плоскостью. Заметим прежде всего, что в силу допущенного отсутствия трения импульс, испытываемый колесом в точке $P$, будет направлен по нормали к его окружности, т. е. по прямой $P O$. Таким образом, удар будет центральным и потому мы можем принять, что угловая скорость $\omega$ колеса не подвергнется при этом никакому изменению.

С другой стороны, так как в движении до удара, которое, по предположению, является чистым качением, мгновенный центр вращения совпадает с точкой соприкосновения $A$ колеса с плоскостью, то скорость до удара $\boldsymbol{v}^{-}$точки $P$ будет перпендикулярна к $A P$. Скорость же после удара $\boldsymbol{v}^{+}$, которая на основании правила п. 17 должна иметь касательную составляющую, равную касательной составляющей скорости до удара $\boldsymbol{v}^{-}$, и в силу закона Ньютона (при $e=1$ ) нормальную составляющую, прямо противоположную нормальной составляющей скорости $\boldsymbol{v}^{-}$, необходимо будет представляться вектором, симметричным с $\boldsymbol{v}^{-}$относительно касательной в точке $P$ к окружности колеса. Поэтому мгновенный центр вращения в движении после удара, по теореме Шаля (т. I, гл. V, п. 4), попадет на хорду $P B$, симметричную с $P A$ относительно $O P$, на расстоянии от $P$, равном $v^{+} / \omega=v^{-} / \omega=A P$, т. е. совпадет как раз с концом $B$ хорды $P B$. В этом заключается все, что можно извлечь для нашей задачи из общей теории пп. 17-18. Но интересно рассмотреть, как

действительно будет происходить движение колеса после удара, начиная от только что описанного состояния движения.

Заметим прежде всего, что в силу неизменности при ударе угловой скорости ш и, следовательно, в частности, ее направления, достаточно, чтобы точка $B$ оказалась с той же стороны от вертикального диаметра $O A$, что и точка $P$, для того чтобы при элементарном вращении вокруг $B$, с которого начинается движение после удара, колесо отскакивало как от плоскости, так и от препятствия. В таком случае колесо в своем движении после удара будет следовать законам движения свободного тяжелого тела, так что его центр тяжести будет описывать некоторую параболу $\mathfrak{P}$ (фиг. 33) с вертикальной осью и с вогнутостью, направленной вниз, причем касательная к параболе в начальном положении $O$ будет перпендикулярна к $O B$.
Тогда, ограничиваясь рассмотрением случая $\alpha<90^{\circ}$ (препятствие ниже центра колеса), и вспоминая, что $\widehat{A O B}=2 \alpha$, мы увидим прежде всего, что если угол $\alpha$ заключен между $45^{\circ}$ и $90^{\circ}$ (включая концы), то скорость после удара точки $O$ направлена назад; это значит, что колесо не преодолело препятствия и отскочило назад.
Наоборот, при $\alpha<45^{\circ}$ скорость после удара точки $O$ обращена вперед и вверх, и колесо может преодолеть препятствие, не ударяясь более о него. Для того чтобы это произошло, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы центр $O$ в своем параболическом движении находился на некотором расстоянии от препятствия, не меньшем радиуса колеса $r$, или, другими словами, чтобы дуга $O L$ параболы $\mathfrak{P}$, находящаяся над горизонталью $O x^{\prime}$, не пересекала над этой горизонталью $x^{\prime}$ аналогичную дугу $O H$ окружности $C$ с центром в $P$ и радиусом $r$. Теперь легко видеть, что это последнее условие выражается соотношением
\[
O L \geqslant O H
\]

между двумя хордами, отсекаемыми соответственно параболой $\mathfrak{P}$ и окружностью $C$ на горизонтали $O x^{\prime}$.

Для доказательства этого заметим сначала, что в то время как касательная $t$ в точке $O$ к дуге круга $C$, как перпендикуляр к $P O$, составляет с $O x^{\prime}$ угол а, аналогичный угол, образованный с той же самой прямой $O x^{\prime}$ касательной $t^{\prime}$ в точке $O$ к параболе $\mathfrak{P}$, как перпендикуляр к $B O$, будет равен $2 \alpha$; поэтому в начале движения после удара парабола $\mathfrak{P}$ будет, конечно, расположена над $C$.

Мы видим, таким образом, что, если бы, вопреки условию (36), было $O L<O H$, то дуга параболы пересекла бы дугу круга над прямой $O x^{\prime}$ и колесо в своем параболическом движении вперед ударилось бы еще раз о препятствие.

Поэтому остается только подтвердить, что соотношение (36) является также и достаточным условием для того, чтобы этого не произошло ${ }^{1}$ ).

Для этой цели, предположив выполненным равенство (36), вспомним, что если временно за декартовы оси примем $O x^{\prime}$ и вертикаль в точке $O$, направленную вверх, и введем составляющие $v$ — $\cos 2 \alpha$, $\tau^{-} \sin 2 \alpha$ скорости точки $O$ после удара, то координаты вершины $V$ параболы определятся (т. I, гл. II, п. 31) выражениями
\[
\frac{\left(v^{-}\right)^{2} \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha}{q}, \quad \frac{\left(v^{-}\right)^{2} \sin ^{2} 2 \alpha}{2 g},
\]

так что будем иметь
\[
\operatorname{tg} \widehat{V O L}=\frac{1}{2} \operatorname{tg} 2 \alpha=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^{2} \alpha},
\]

и, следовательно, так как $\alpha<45^{\circ}$,
\[
\operatorname{tg} \alpha<\operatorname{tg} \widehat{V O L}<\operatorname{tg} 2 \alpha .
\]

Полупрямая $O V$ будет поэтому внутренней для угла $\widehat{t t^{\prime}}$ двух касательных; прямая $H K$, параллельная к $L V$, пересечет отрезок $O V$ в какой-нибудь точке $K$ (самое большее совпадающей с $V$ ).

Так как дуга круга остается ниже ломаной с двумя сторонами $O K H$, а эта ломаная в свою очередь будет ниже аналогичной ломаной $O V H$, полностью лежащей ниже дуги параболы, то заключаем, что, действительно, две дуги не пересекаются над горизонталью $O x^{\prime}$.

Подставляя в уравнение (36) вместо $O L$ (дальность бросания) данные задачи, мы получим соотношение
\[
\frac{\left(v^{-}\right)^{2}}{g} \sin 4 \alpha \geqslant 2 r \sin \alpha .
\]

Если препятствие сводится к маленькому выступу в полу, т. е. если $\alpha$ очень мало, так что вместо синусов можно подставить без ощутительной погрешности соответствующие углы, то соотношение $\left(36^{\prime}\right)$ получит вид
\[
(v-)^{2} \geqslant \frac{1}{2} r g .
\]

Отсюда заключаем: для того чтобы колесо не ударилось вторично o препятствие, необходимо и достаточно, чтобы скорость до удара точки обода, ударяющегося о препятствие, была не меньше скорости тяжелого тела, падающего на пол с высоты, равной четверти радиуса колеса.