41. Общие соображения. Если задана система (нормальная) обыкновенных дифференциальных уравнений порядка $n$
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}(x \mid t) \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

то наличие некоторого числа интегралов позволяет, как на это уже указывалось (гл. II, п. 1) в случае уравнений движения одной свободной точки, понизить порядок системы. Действительно, если известны $m$ независимых между собой интегралов, то из них можно получить выражение для $m$ неизвестных, например для $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$, в функциях от остальных неизвестных и от $m$ произвольных постоянных, после чего, подставляя вместо этих $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m}$ их выражения в остальные $n-m$ уравнении (36), мы получим приведенную систему порядка $n-m$
\[
\frac{d x_{m+j}}{d t}=\bar{X}_{m+j} \quad(j=1,2, \ldots, n-m),
\]

где функции $\vec{X}$ получаются из первоначальных функций $X$ посредством указанной подстановки и зависят только от $x_{m+1}, x_{m+2}, \ldots, x_{n}$ и, конечно, от $m$ произвольных постоянных известных интегралов. Если мы примем во внимание, что интегрирование приведенной системы введет $n-m$ произвольных постоянных, то увидим, что, присоединяя к общему интегралу этой системы $m$ известных интегралов системы (36), мы придем к ее общему решению, так что можно сказать, что наличие $m$ независимых интегралов допускает понижение на $m$ единиц порядка операций интегрирования.

Необходимо отметить, что если для данной системы известны не первые интегралы, а только $m$ инвариантных соотношений, независимых между собой, то из них можно получить выражения для $m$ из неизвестных $x$ и, как и выше, исключить эти $m$ неизвестных из последних $n-m$ уравнений (36); но приведенная система (36), которая таким образом получится, не будет содержать в себе произвольных постоянных, так что интегрирование этой системы порядка $n-m$ даст уже не общий интеграл данной системы, а только некоторый класс $\infty^{n-m}$ решений, т. е. именно тех решений, которые удовлетворяют указанным инвариантным соотношениям.

В ближайших пунктах мы будем применять эти соображения к каноническим системам, главным образом для того, чтобы выявить наибольшее число приведений, которые допускаются частным видом таких систем по сравнению с системами общего вида.
42. элементарный СЛУЧАЙ ПОНИЖЕНИЯ РАНГА КАНОНИчЕСКИХ СИСТЕМ. Предположим, что каноническая система (5) имеет $m$ игнорируемых координат, т. е. соответствующая характеристическая функция $H$

не зависит от $m$ из $q$ координат, например от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$. Тогда мы будем иметь $m$ интегралов обобщенных количеств движения
\[
p_{r}=\mathrm{const}=p_{r}^{0} \quad(r=1,2, \ldots, m)
\]

равносильных $m$ уравнениям $\dot{p}_{r}=0$ канонической системы. Остальные $2 n-m$ уравнений можно разделить на две группы: первую, состоящую из $2(n-m)$ уравнений
\[
\dot{p}_{m+j}=-\frac{\partial H}{\partial q_{m+j}}, \quad \dot{q}_{m+j}=\frac{\partial H}{\partial p_{m+j}} \quad(j=1,2, \ldots, n-m),\left(5_{\mathrm{a}}\right)
\]

и вторую-из остальных $m$ уравнений
\[
\dot{q}_{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, m) .
\]

Если примем во внимание уравнения (83) и то обстоятельство, что $H$ не зависит от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$, то увидим, что уравнения ( $5_{\mathrm{a}}$ ) составляют каноническую систему относительно одних только переменных $p_{m+j}$, $q_{m+j}(j=1,2, \ldots, n-m)$, содержащую в виде параметров $m$ постоянных $p_{r}^{0}$; после того как для этой системы определится ее общее решение, зависящее, помимо $p_{r}^{0}$, и от остальных $2(n-m)$ произвольных постоянных, правые части уравнений (56), при помощи подстановки этого решения и интегралов (83), приведутся к известным функциям от одного только переменного $t$ (и от $2 n-m$ введенных произвольных постоянных), так что остальные неизвестные функции $q_{r}(r=1,2, \ldots, m)$ получатся посредством $m$ квадратур, которые введут $m$ остальных произвольных постоянных.

Таким образом, наличие $m$ интегралов (83) дает возможность понизить порядок канонической системы на $2 m$ единиц, а не на $m$, как это было в общем случае.
43. ПОНИЖЕНИЕ ПоряДКА КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ПОМОЩИ иНтегРАла энергии. Другой замечательный случай приводимости канонических систем мы будем иметь, когда характеристическая функция $H$ не зависит явно от $t$ и поэтому, как мы знаем из п. 4 , существует интеграл энергии
\[
H=\text { const }=E .
\]

Таким образом, при наличии интеграла (6) интегрирование канонической системы (5) порядка 2 п можно свести к интегрированию другой системы, тоже канонической, порядка $2(n-1)$ и к последующей квадратуре.

Действительно, заметим прежде всего, что если исключить возможные статические решения (в которых все $p$ и $q$ остаются постоянными), то для всякого другого решения заданной канонической системы, по крайней мере, один из аргументов $p$ и $q$ действительно

зависит от $t$; если таким аргументом является, например, $q_{n}$, то всегда можно будет для $t$ определить промежуток изменения, в котором производная $\dot{q}_{n}=d q_{n} / d t$ будет оставаться отличной от нуля.

В таком промежутке времени рассматриваемое решение о определяет между $t$ и $q_{n}$ одно-однозначное соответствие, так что за независимое переменное можно будет принять $q_{n}$ вместо $t$.

С другой стороны, в силу последнего из уравнений (5) вместе с производной $\dot{q}_{n}$, отличной от нуля в этом промежутке, надо принять отличной от нуля и производную $\partial H / \partial p_{n}$, так что интеграл (6) можно разрешить относительно $p_{n}$ в виде
\[
p_{n}=K\left(p_{1}, \ldots, p_{n-1} ; q_{1}, \ldots, q_{n}, E\right) .
\]

Заметив это, разделим почленно первые $2(n-1)$ уравнений (5) на последнее
\[
\frac{\partial q_{n}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{n}}
\]

принимая во внимание, что на основании уравнения (6)
\[
\frac{\partial K}{\partial u}=-\frac{\partial H}{\partial u}: \frac{\partial H}{\partial p_{n}},
\]

где $u$ — один из аргументов
\[
p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n-1}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n},
\]

придем к уравнениям
\[
\frac{d q_{h}}{d q_{n}}=-\frac{\partial K}{\partial p_{h}}, \quad \frac{d p_{h}}{d q_{n}}=\frac{\partial K}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n-1),
\]

образующим каноническую систему с $2(n-1)$ неизвестными функциями $p_{h}, q_{h}$ ( $h=1,2, \ldots, n-1$ ) от $q_{n}$, характеристическая функция которой $K$, помимо этих $2(n-1)$ аргументов, зависит еще от нового независимого переменного $q_{n}$ (и от произвольной постоянной $E$ ).

Теперь легко убедиться, что, после того как будет проинтегрирована система (85) порядка $2(n-1)$, достаточно одной квадратуры для того, чтобы получить решение первоначальной системы (5). Действительно, интегралы системы (85) позволят выразить $p_{h}, q_{h}$ при $h=1,2, \ldots, n-1$ в функциях от $q_{n}$ и от $2(n-1)$ постоянных интегрирования, кроме $E$, которое входит явно в виде параметра’ в $K$; с другой стороны, сама функция $K$, когда в нее вместо $2(n-1)$ аргументов $p_{h}, q_{h}$ подставляют только что указанные выражения, на основании равенств $\left(6^{\prime}\right)$ дает $p_{n}$, так что тем самым в фазовом пространстве $\Phi_{2 n}$ будут определены $\infty^{2 n-1}$ траекторий любого движения, определяемого системой (5). Поэтому остается только определить закон движения, для чего достаточно обратиться к уравнению (84), которым мы уже

пользовались для исключения $t$ из системы (5). Если напишем это уравнение в виде
\[
d t=\frac{d q_{n}}{\frac{\partial H}{\partial p_{n}}}
\]

и заметим, что правую часть можно выразить в функции от $\boldsymbol{q}_{n}$ (и от $2 n-1$ введенных до сих пор произвольных постоянных), то увидим, что интегрирование задачи дополнится еще одной квадратурой, которая введет последнюю произвольную постоянную.
44. Теоремы С. Ли и Лиувилля. Результаты, полученные в двух предыдущих пунктах, являются частными случаями основной теоремы теории канонических систем, которая формулируется следующим образом (теорема С. Ли): если для канонической системы порядка $2 n$ известны $m$ интегралов, независимых между собой, находящихся в инволюции и разрешимых относительно стольких же переменных $p$, то ранг системы, от которого зависит определение общего решения, понижается на $2 m$ единиц (вместо $m$ ) и интегрирование данной системы сводится к интегрированию другой системы, тоже канонической, с $n-m$ парами сопряженных переменных:

C точки зрения применения к конкретным задачам особую важность имеет случай, когда $m=n$, или случай, когда интегрирование канонической системы может быть сведено к операции нулевого порядка, т. е. к конечным операциям и к квадратурам. Мы ограничимся здесь доказательством теоремы С. Ли для этого частного случая, который известен под названием случая Лиувилля ${ }^{1}$ ) ${ }^{*}$ ).

При доказательстве существенным образом будем опираться на метод интегрирования Гамильтона — Якоби, а именно на результат п. 35 , согласно которому, чтобы иметь интеграл канонической системы (5) в конечном виде, достаточно получить полный интеграл $V$ уравнения с частными производными
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+H=0 .
\]

Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что наличие $n$ интегралов системы (5)
\[
f_{r}(p|q| t)=\text { const }=\pi_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

независимых между собой, находящихся в инволюции и разрешимых относительно $n$ переменных $p$, позволяет определить посредством одних только квадратур полный интеграл $V(q|\pi| t)$ уравнения (72).

Для этой цели напишем уравнения, выражающие предположения о том, что функции $f_{r}$ являются интегралами уравнений (5) и находятся между собой в инволюции. Первое предположение (п. 21) выразится уравнениями
\[
\frac{\partial f_{r}}{\partial t}+\left(H, f_{r}\right)=0 \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

а инволюционный характер интегралов $f_{r}$ выразится уравнениями
\[
\left(f_{r}, f_{s}\right)=0 \quad(r, s=1,2, \ldots, n),
\]

которые здесь, в отличие от того, что мы имеем для инвариантных соотношений, будут существовать сами по себе, т. е. независимо от уравнений (86), так как они должны иметь место при всяком выборе постоянных $\pi_{r}$.

Эти две группы условий (87), (88) формально можно выразить одной схемой, если наряду с $p_{h}, q_{h}(h=1,2, \ldots, n)$ мы введем еще одну пару сопряженных переменных $p_{0}, q_{0}=t$, где $p_{0}$ обозначает вспомогательный аргумент, который не входит ни в $H$, ни в одну из $f$, и если для какой-нибудь пары функций $u$, $v$ от двух сопряженных рядов переменных
\[
\left(\begin{array}{ccccc}
p_{0} & p_{1} & p_{2} & \ldots & p_{n} \\
q_{0}=t & q_{1} & q_{2} & \ldots & q_{n}
\end{array}\right)
\]

обозначим через ( $u, v$ ) скобки Пуассона относительно этих переменных.

Тогда, сохраняя обычное обозначение ( $u, v$ ) для скобок Пуассона относительно первоначальных переменных $p, q$, будем иметь
\[
(u, v)=\frac{\partial u}{\partial p_{0}} \frac{\partial v}{\partial t}-\frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial v}{\partial p_{0}}+(u, v) ;
\]

отсюда следует, в частности, что если обе функции $u$, $v$ не зависят от $p_{0}$, то скобки ( ) будут тождественны с обычными круглыми скобками, и что
\[
\left(p_{0}+H, f_{r}\right)=\frac{\partial f_{r}}{\partial t}+\left(H, f_{r}\right) \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Мы видим, таким образом, что равенства (87), (88) можно написать соответственно в виде
\[
\left(p_{0}+H, f_{r}\right)=0, \quad\left(f_{r}, f_{s}\right)=0 \quad(r, s=1,2, \ldots, n),
\]
т. е. наши предположения можно выразить, говоря, что $n+1$ функций $f_{r}$ и $p_{0}+H$ находятся попарно в инволюции относительно двух рядов (89) сопряженных переменных.

С другой стороны, $n+1$ уравнений $f_{r}=\pi_{r}, p_{0}+H=0$ разрешимы относительно $p_{0}, p_{1}, \ldots, p_{n}$, так как первые $n$ уравнений предполагаются в свою очередь разрешимыми относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, после чего уравнение $p_{0}+H=0$, если воспользоваться полученными таким образом выражениями для $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, даст выражение для $p_{0}$ через $q, t$ и $\pi$.
Если мы напишем найденные таким образом решения в виде
\[
\begin{array}{ll}
p_{r}-\varphi_{r}(q|\pi| t)=0 \\
p_{0}-\varphi_{0}(q|\pi| t)=0, & (r=1,2, \ldots, n), \\
\end{array}
\]

где положено
\[
\varphi_{0}=-(H)_{p_{r}}=\varphi_{r},
\]

то (п. 29) функции $p_{r}-\varphi_{r}, p_{0}-\varphi_{0}$ будут находиться в инволюции, т. е. будут удовлетворять равенствам
\[
\left(p_{r}-\varphi_{r}, p_{s}-\varphi_{8}\right)=0 \quad(r, s=0,1, \ldots, n) ;
\]

так как $\varphi$ не зависят от $p$, то эти равенства примут вид
\[
\frac{\partial \varphi_{r}}{\partial q_{s}}=\frac{\partial \varphi_{s}}{\partial q_{r}} \quad(r, s=0,1, \ldots, n),
\]

так что они выразят необходимые и достаточные условия для существования такой функции $V$ от $q, q_{0}=t$ и от постоянных $\pi$, что
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial V}{\partial q_{r}} & =\varphi_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n) \\
\frac{\partial V}{\partial t}=\varphi_{0} & =-(H)_{p_{r}=p_{r}} .
\end{aligned}
\]

Определение этой функции $V$, как известно, требует только квадратур; покажем сейчас, что эта функция и представляет собою полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби (72).

Что функция $V$ есть интеграл, можно видеть непосредственно из равенства (916), если принять во внимание равенства ( $91_{\mathrm{a}}$ ), так что остается только подтвердить его полноту. Для этой цели достаточно проверить, что смешанный функциональный определитель от $V$ по $q$ и $\pi$ (п. 35 ), т. е. в силу уравнений ( $91_{\mathrm{a}}$ ) якобиан от $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, in по $\pi$, не будет тождественно равен нулю. Но это есть необходимое и достаточное условие для разрешимости уравнений (86′) относительно $\pi$, обеспеченное заранее тем обстоятельством, что эти уравнения эквивалентны первоначальным уравнениям (86), которые как раз и являются разрешенными относительно $\pi$.
45. СЛЕДСТВИЯ иЗ ТЕОРЕМЫ ЛИувиЛЛЯ ДЛЯ КАНОНИчЕСКИХ СИСТЕМ С ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ, НЕ ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ВРЕМЕНИ. В КОНкретных задачах, представляющих физический интерес, оправдывается

то обстоятельство, что переменная $t$ не появляется ни в $H$, ни в одном из известных интегралов (86). При таком предположении теорема Лиувилля позволяет сделать два замечания, которые следует разъяснить.

Прежде всего мы видим, что способ, использованный в предыдущем пункте для установления теоремы Лиувилля, приводит к полному интегралу вида
\[
V=-E t+W,
\]

где $E$ есть постоянная, а $W$ не зависит от $t$.
Действительно, так как функции $\varphi_{\text {r }}$ не содержат $t$, уравнениям $\left(91_{\text {a }}\right.$ ) можно удовлетворить некоторой функцией $W$, зависящей исключительно от $q$ (и от $\pi$ ), после чего наиболее общее решение этих уравнений определится равенством
\[
V=W+T,
\]

где $T$ представляет собой некоторую произвольную функцию от $t$ (и от $\pi$ ). Остается еще удовлетворить уравнению ( $91_{6}$ ), которое дает здесь
\[
\frac{\partial T}{\partial t}=\varphi_{0}=-(H)_{p_{r}=\varphi_{r}} ;
\]

надо заметить, что, с одной стороны, так как уравнения (90) при $r=0, s>0$ дают
\[
\frac{\partial \varphi_{0}}{\partial q_{s}}=\frac{\partial \varphi_{s}}{\partial t}=0 \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

функция $\varphi_{0}$ не зависит от $q$ и, с другой стороны, что она также не зависит и от $t$, потому что такой же, по предположению, является функция $H$, и $t$ не может быть введена в нее подстановкой $p_{r}=\varphi_{r}$. Поэтому функция $\varphi_{0}$ есть постоянная (зависящая от $\pi$ ), которую мы можем обозначить через $-E$, и из соотношения (91′) заключаем, что, по крайней мере с точностью до несущественной постоянной,
\[
T=-E t .
\]

Этот результат надо сопоставить с выводами п. 38.
Перейдем теперь к другому упомянутому следствию из теоремы Лиувилля: интегрирование канонической системы с характеристической функцией, не зависящей от времени, будет выполнимо (одними только конечными операциями и квадратурами) всякий раз, когда известны $n-1$ ее интегралов $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n-1}$, которые находятся в инволюции а не содержат $t$, и функции $f_{1}$, $f_{2} \ldots, f_{n-1}, Н$ независимы между собой.

Действительно, мы замечаем, что а) $n$-и интеграл определяется уравнением $H=$ const (п. 4) и б) так как все функции $f$ не зависят от времени, то уравнения (87) приводятся здесь к виду
\[
\left(H, f_{r}\right)=0 \quad(r=1,2, \ldots, n-1),
\]

так что $n$-औ интеграл $H$ будет также находиться в инволюции с остальными $n-1$ интегралами.
После этого достаточно применить теорему Лиувилля.