58. Случай Ковалевской В п. 24 уже говорилось, что интегрирование уравнений $\left(34^{\prime}\right),\left(35^{\prime}\right)$ движения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной своей точке, приводится к квадратурам всякий раз, когда удается определить еще один интеграл, кроме классических интегралов живых сил и момента количеств движения.
С. В. Ковалевская, поставив себе целью определить все случаи, в которых решения $p, q, r, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ системы $\left(34^{\prime}\right),\left(35^{\prime}\right)$,
рассматриваемые не только на действительной оси, но и на всей плоскости комплексного переменного $t$, представляют собой однозначные и мероморфные функции, пришла к заключению, что это обстоятельство имеет место, кроме случаев Эйлера (§3) и Лагранжа (§ 6), только в том случае, когда выполняются два следующих условия:
a) главные моменты инерции относительно неподвижной точки $O$ удовлетворяют соотношениям
\[
A=B=2 C,
\]

вследствие чего, в частности, твердое тело имеет гироскопическую структуру относительно точки $O$;
б) центр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции относительно точки $O$, а не на оси симметрии, как это имеет место в случае Лагранжа *).

Допустив оба этих структурных предположения, мы ограничимся здесь составлением уравнений движения и получением из них первого интеграла, который и даст возможность выполнить интегрирование в квадратурах.

Выбрав за неподвижную ось $z$ в теле ось симметрии эллипсоида инерции, мы можем предположить, не нарушая общности рассуждений, что положительная полуось $x$ проходит через центр тяжести, так как и здесь безразлична ориентация неподвижных относительно тела осей $O x y$ (главных осей инерции) в экваториальной плоскости. В силу этого имеем
\[
x_{0}>0, y_{0}=z_{0}=0,
\]

благодаря чему уравнения (34′) приводятся к следующим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
2 \dot{p}-q r & =0, \\
2 \dot{q}+p r & =-\lambda^{2} \gamma_{3}, \\
\dot{r} & =\lambda^{2} \gamma_{2},
\end{array}\right\}
\]

где для краткости через $\lambda^{2}$ обозначена постоянная (положительная) $P x_{0} / C$, имеющая размерность квадрата угловой скорости; кинематические уравнения Пуассона сохраняют при этом свой вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\gamma}_{1}=\gamma_{2} r-\gamma_{3} q, \\
\dot{\gamma}_{2}=\gamma_{3} p-\gamma_{1} r, \\
\dot{\gamma}_{3}=\gamma_{1} q-\gamma_{2} p .
\end{array}\right\}
\]

Прибавляя к первому уравнению (109) второе, умноженное на $i=\sqrt{-1}$, мы получим уравнение
\[
2(\dot{p}+i \dot{q})=-i r(p+i q)-i \lambda^{2} \gamma_{3},
\]

которое по умножении на $p+i q$ можно написать в виде
\[
\frac{d}{d t}(p+i q)^{2}=-i r(p+i q)^{2}-i \lambda^{2} \gamma_{3}(p+i q) .
\]

Но из первых двух уравнений ( $35^{\prime}$ ) непосредственно имеем
\[
\frac{d}{d t}\left(\gamma_{1}+i \gamma_{2}\right)=-i r\left(\gamma_{1}+i \gamma_{2}\right)-i \gamma_{3}(p+i q),
\]

так что, вычитая из предыдущего уравнения это последнее, после умножения обеих его частей на $\lambda^{2}$, мы придем к уравнению
\[
\frac{d}{d t}\left\{(p+i q)^{2}-\lambda^{2}\left(\gamma_{1}+i \gamma_{2}\right)\right\}=-i r\left\{(p+i q)^{2}-\lambda^{2}\left(\gamma_{1}+i \gamma_{2}\right)\right\}
\]

или же
\[
\dot{\theta}=-i r \theta,
\]

где положено
\[
\theta=(p+i q)^{2}-\lambda^{2}\left(\gamma_{1}+i \gamma_{2}\right) .
\]

Если же через $\bar{\theta}$ обозначим комплексную величину, сопряженную с $\theta$, которая (так как мы имеем в виду действительные решения наших дифференциальных уравнений) получится путем замены $i$ через – $i$ в уравнении (111), то к уравнению (110) можно присоединить уравнение
\[
\dot{\bar{\Theta}}=i r \bar{\theta} ;
\]

поэтому, умножая уравнение (110) на $\bar{\Theta}$, уравнение (110′) на $\theta$ и складывая почленно, получим
\[
\frac{d}{d t}(\theta \ddot{\theta})=0 ;
\]

отсюда получается алгебраический интеграл четвертой степени, открытый Ковалевскон,
\[
\boldsymbol{\theta} \overline{\boldsymbol{\Theta}}=\left\{(p+i q)^{2}-\lambda^{2}\left(\gamma_{1}+i \gamma_{2}\right)\right\}\left\{(p-i q)^{2}-\lambda^{2}\left(\gamma_{1}-i \gamma_{2}\right)\right\}=\text { const } .
\]

Благодаря ему интегрирование уравнений (109) и (35′) сводится к гиперэллиптическим квадратурам. Мы не будем здесь останавливаться на доказательстве этого и не будем излагать последних исследований, предметом которых стал этот замечательный случай интегрируемости у различных авторов. Напомним только, что для уравнений (109) и (35′) изучены стационарные решения и их устойчивость $\left.{ }^{1}\right)^{*}$ ). чаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской последний из первых интегралов, приводящий к интегрированию посредством квадратур уравнений движения тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой (п. 24), является, как и интегралы живых сил и моментов, алгебраическим относительно неизвестных функций. Поэтому естественно, что предпринимались общие исследования вопроса о том, допускают ли и в каких случаях динамические уравнения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, помимо двух классических интегралов, какой-нибудь новый алгебраический интеграл, относительно переменных $p$, $q, r, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$. Однако глубокое исследование Гюссона ${ }^{2}$ ), выполненное в более изящной форме Бургатти ${ }^{3}$ ), привело к заключению, что, помимо рассмотренных ранее случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, не существует других алгебраических интегралов, кроме интегралов живых сил и моментов.

Тем не менее делались попытки исследовать случай, когда посредством квадратур удается определить для системы (34′), (35′) не общий интеграл, а хотя бы семейство $\infty^{4}$ решений, что, как было сказано в п. 22 , означает $\infty^{5}$ решений задачи о движении **).

Первый и, может быть, наиболее интересный из этих случаев частной интегрируемости был открыт Гессом ${ }^{1}$ ).

Заметим, что на основании той же теоремы Лиувилля, на которую мы ссылались в п. 24 и которую мы докажем в гл. X (§ 7), достаточно знать одно соотношение
\[
f\left(p, q, r, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)=0,
\]

которое остается в силе в течение всего движения всякий раз, как оно будет удовлетворено вначале, для того чтобы можно было определить посредством квадратур все $\infty^{5}$ удовлетворяющих ему движения. Уравнение (112) уже нельзя назвать первым интегралом, поскольку оно удовлетворяется только частью решении (теми, которые ему удовлетворяют вначале), и поэтому чаще называется инвариантным уравнением (по отношению к движению) или, как еще говорят, первым частным интегралом.

К случаю Гесса мы придем, если будем отыскивать, при каких условиях может получиться, что момент количеств движения $\boldsymbol{K}$ остается в течение всего движения перпендикулярным к центральной оси $O G$, или, другими словами, что при подходящих структурных предположениях уравнения движения могут допустить частный интеграл
\[
K \cdot \overrightarrow{O G}=A x_{0} p+B y_{0} q+C z_{0} r=0 .
\]

Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы производная по времени от $K \cdot \overrightarrow{O G}$ обращалась в нуль, когда исчезает само $\boldsymbol{K} \cdot \overrightarrow{O G}$.

Далее, так как речь идет о скаляре, то производную можно взять по отношению к любым осям; дифференцируя по отношению к осям, неподвижным в теле, и принимая во внимание уравнение моментов количеств движения (п. 22)
\[
\dot{K}+\omega \times K=P \cdot \overrightarrow{O G} \times x,
\]

а также само уравнение (113), мы получим тождество
\[
\frac{d}{d t}[K \cdot \overrightarrow{O G}]=(K \times \omega) \cdot \overrightarrow{O G},
\]

так что все сводится к выяснению того, когда произведение $(\boldsymbol{K} \times \boldsymbol{\omega}) \cdot \overrightarrow{O G}$, содержащее переменные $p, q, \boldsymbol{r}$ во второй степени,

делится на произведение $\boldsymbol{K} \cdot \overrightarrow{O G}$, линейное по отношению к тем же переменным. Заметим, кстати, что так как $(K \times \omega) \cdot \overrightarrow{O G}$, по крайней мере с точностью до множителя $\omega$, является не чем иным, как левой частью уравнения конуса Штауде (п. 25), последнее обстоятельство равносильно тому, что этот конус распадается на две плоскости, одна из которых является плоскостью, перпендикулярной к моменту $\boldsymbol{K}$,
\[
A p \gamma_{1}+B q \gamma_{2}+C r \gamma_{3}=0 .
\]

Если обозначим через $u p+v q+w r$ неизвестную линейную форму, то придем к условному тождеству
\[
(\boldsymbol{K} \times \boldsymbol{\omega}) \cdot \overrightarrow{O G}=(u p+v q+w r) \boldsymbol{K} \cdot \overrightarrow{O G},
\]

равносильному системе
\[
\left.\begin{array}{c}
A x_{0} u=0, \quad B y_{0} v=0, \quad C z_{0} w=0 \\
x_{0}(B-C)=v C z_{0}+w B y_{0} \\
y_{0}(C-A)=w A x_{0}+u C z_{0} \\
z_{0}(A-B)=u B y_{0}+v A x_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Из уравнений (114) следует, что нулями должны быть или все три величины $x_{0}, y_{0}, z_{0}$, или все три искомые величины $u, v, w$, или же два числа одной из этих двух троек и. одно, не соответствующее им, другой.

Оба случая, $x_{0}=y_{0}=z_{0}=0$ и $u=v=w=0$, надо сразу же исключить, так как первый приводит к движению по Пуансо (случай Эйлера) тяжелого твердого тела, закрепленного в его центре тяжести, а второй вследствие соотношений (115) – к твердому телу, имеющему эллипсоидом инерции относительно неподвижной точки сферу, т. е. к частному случаю тяжелого гироскопа.
Но каждое из предположений
\[
y_{0}=z_{0}=u=0, \quad z_{0}=x_{0}=v=0, \quad x_{0}=y_{0}=w=0
\]

приводит в силу соотношений (115) к одному из только что исключенных случаев.
Поэтому остается рассмотреть только три возможности
\[
x_{0}=v=w=0, y_{0}=w=u=0, \quad z_{0}=u=v=0,
\]

в каждой из которых одно из соотношений (115) будет тождественно удовлетворяться, а другие две путем исключения $u, v$ или $w$ соответственно дадут
\[
\begin{array}{l}
(A-B) C z_{0}^{2}=(C-A) B y_{0}^{2}, \\
(B-C) A x_{0}^{2}=(A-B) C z_{0}^{2}, \\
(C-A) B y_{0}^{2}=(B-C) A x_{0}^{2} .
\end{array}
\]

Если исключим гироскопические случаи и для определенности предположим
\[
A>B>C,
\]

то увидим, что первое и третье из предположений (116) должны быть отброшены, поскольку соответствующие соотношения (117) приводят к мнимым значениям для $y_{0} / z_{0}$ или, соответственно, $x_{0} / y_{0}$; таким образом, единственный новый случай, к которому приводит наличие инвариантного уравнения (113), соответствует второму из предположений (117) и поэтому определяется двумя структурными условиями
\[
y_{0}=0, \quad(B-C) A x_{0}^{2}=(A-B) C z_{0}^{2} .
\]

Следовательно, речь идет о твёрдом теле, эллипсоид инерции которого относительно закрепленной точки будет трехосным, но имеющим центр тяжести на главной плоскости, проходящей через наибольшую и наименьшую из осей ( $y_{0}=0$ ), при дальнейшем условии, что ось, проходящая через центр тяжести, направлена в этой плоскости так, чтобы было удовлетворено второе из условий (118) ${ }^{1}$ ).
Это и есть случай частной интегрируемости Гесса *).
60. Случай ЧАплыгина ${ }^{2}$ ). Рассмотрим другой случай частной интегрируемости, который с точки зрения структуры твердого тела близок к случаю Ковалевской, поскольку он характеризуется соотношением
\[
A=B=4 C
\]

и добавочным условием, что центр тяжести лежит на экваториальной плоскости эллипсоида инерции ( $z_{0}=0$ ).

Здесь к определению в квадратурах $\infty^{4}$ решений системы (34′), (35′) и, следовательно, $\infty^{5}$ движений тяжелого твердого тела, закрепленного в одной своей точке, мы придем уже не путем добавления к интегралам живых сил и моментов нового частного интеграла, а, придавая частное значение произвольной постоянной в одном из этих двух классических первых интегралов, а именно в интеграле моментов количеств движения, найдем, что посредством полученных

таким образом решений, удовлетворяющих инвариантному уравнению, получается новый первый интеграл.

Если и здесь проведем неподвижную в теле положительную полуось $O x$ через центр тяжести, то динамические уравнения ( $34^{\prime}$ ) примут вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
4 \dot{p}-3 q r & =0, \\
4 \dot{q}+3 p r & =-\lambda^{2} \gamma_{3}, \\
\dot{r} & =\lambda^{2} \gamma_{2},
\end{array}\right\}
\]

где через $\lambda^{2}$, как и в п. 58, обозначена положительная постоянная $P x_{0} / C$.

Естественно, что и в данном случае остается в силе интеграл моментов количеств движения относительно вертикали, который в этом случае определяется равенством
\[
K_{5}=C\left\{4\left(p \gamma_{1}+q \gamma_{2}\right)+r \gamma_{3}\right\} .
\]

Чаплыгин заметил, что для $\infty^{4}$ решении системы $\left(34^{\prime}\right),\left(35^{\prime}\right)$, для которых постоянная $K_{\zeta}$ моментов равна нулю, существует алгебраический интеграл третьеи степени
\[
\varphi \equiv r\left(p^{2}+q^{2}\right)+\lambda^{2} p \gamma_{3}=\text { const. }
\]

Не исследуя, как Чаплыгин пришел к этому заключению, мы ограничимся его поверкой; для этого достаточно заметить, что в силу уравнений (119) и третьего из уравнений ( $35^{\prime}$ ) имеем тождество
\[
\frac{d \varphi}{d t} \equiv \frac{1}{4} \lambda^{2} q\left\{4\left(p \gamma_{1}+q \gamma_{2}\right)+r \gamma_{3}\right\}
\]

нли же на основании выражения для $K_{\zeta}$
\[
\frac{d \varphi}{d t} \equiv \frac{\lambda^{2} q}{4 C} K_{\zeta}
\]

это соотношение, если принять во внимание предположение $K_{\mathrm{\zeta}}=0$, и доказывает утверждение *).