31. СубстанциАльные многообразия. Во многих исследованиях, в частности в небесной механике, наряду с рассмотрением интегралов и инвариантных соотношений, . оказывается полезным исследование других образований инвариантного типа относительно любой систем дифференциальных уравнений первого порядка (36). Речь идет о так называемых интегральных инвариантах, о которых здесь уместно дать некоторое понятие.

Пр́иведем сначала некоторые вспомогательные соображения. Для обычной системы дифференциальных уравнений $n$-го порядка
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}(x \mid t) \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

в которых функции $X$ удовлетворяют, по крайней мере в некоторой области, обычным условиям правильности, рассмотрим решение
\[
x_{i}=x_{i}\left(t \mid x^{0}\right) \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где функции $x_{i}$ в заданный момент $t_{0}$ принимают любые $n$ значений $x_{i}^{0}$. Обращаясь к обычному кинематическому истолкованию в $n$-мерном пространстве $S_{n}$ переменных $x$, мы можем сказать, что решения (66) определяют движение точки $P$, которая, подчиняясь закону скорости, выраженному уравнениями (36), в момент $t_{0}$ выходит из положения $P_{0}\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)$.

Предположим, что это начальное положение движущейся точки выбирается в некоторой $n$-мерной области, в которой осуществляются условия, требуемые теоремой существования и единственности интегралов системы (36); предположим, кроме того, что промежуток изменения $t$ выбран так, что указанные только что условия продолжают выполняться.
Рассматривая функциональный определитель от $x_{i}\left(t \mid x^{0}\right)$ по $x^{0}$
\[
\mathfrak{D}=\left\|\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{j}^{0}}\right\| \quad(i, j=1,2, \ldots, n),
\]

примем во внимание, что результат дифференцирования по любому $x^{0}$ и подстановки $t=t_{0}$ не зависит от порядка выполнения этих операций, т. е.,
\[
\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{j}^{0}}\right)_{t=t_{0}}=\frac{\partial}{\partial x_{j}^{0}}\left(x_{i}\right)_{t=t_{0}}=\delta_{i j} \quad(i, j=1,2, \ldots, n) .
\]

Отсюда можно заключить, что определитель $\mathfrak{D}$ в начальный момент $t_{0}$ принимает значение 1 и потому остается отличным от нуля и положительным во всем промежутке времени, начиная с момента $t_{0}$. Если условимся ограничить изменение $t$ этим промежутком, то в нем будет обеспечена непрерывность и одно-однозначность соответствия, которое уравнения (66) определяют между начальными положениями $P_{0}$ движущейся точки и положениями, достигаемыми ею в любой момент $t$; отсюда почти очевидно (можно было бы доказать это и вполне строго), что в пределах указанного выше изменения $t$ всякому многообразию $V^{0}$ с каким угодно числом измерений (линия, поверхность и др.) соответствует на основании уравнений (66) в любой момент времени вполне определенное многообразие $V$ с тем же числом измерений – геометрическое место соответствующих положений $P$ движущейся точки, и обратно.

Многообразие $V$ из $S_{n}$, которое рассматривается в этом смысле зависящим от $t$, обыкновенно называется субстанциальным многообразием, так как, если представим |себе точки $S_{n}$ материализованными, оно будет во всякий момент состоять из одних и тех же частиц, т. е. из частиц, какие вначале образовывали $V^{0}$.

32. ИнтегральныЕ инварианты порядка, равного порядКу системы. Обратимся к частному случаю, когда начальное многообразие образует некоторую область ( $n$-мерную) $S^{0}$ пространства $S_{n}$ и пусть $S$ есть соответствующая область в любой момент $t$.

Если обозначает какую-нибудь правильную функцию от положения и, возможно, от времени, то интеграл
\[
I=\int_{S} \mu d S
\]

имеет вполне определенный смысл в любой момент времени и потому представляет собой вполне определенную функцию от $t$, принимающую в начальный момент $t_{0}$ значение
\[
I_{0}=\int_{S^{0}} \mu_{0} d S^{0}
\]

В качестве предварительной формулы найдем производную по $t$ от интеграла $I$, принимая при этом во внимание уравнения (36).

Если бы при выполнении этого дифференцирования мы исходили непосредственно из выражения (67) интеграла $I$, то надо было бы принять во внимание, что интегрирование должно быть распространено на область, изменяющуюся вместе с $t$; поэтому для упрощения вычислений удобно привесги область интегрирования к такой области, которая не зависит от времени, выполняя предварительно замену переменных, определяемую равенствами (66).

В силу этого, согласно известному правилу преобразования интегралов по области, получим
\[
I=\int_{S^{0}} \mu \mathfrak{D} d S^{0},
\]

где вместо $|\mathfrak{D}|$ можно писать прямо $\mathfrak{D}$, потому что этот определитель, как отмечалось в предыдущем пункте, остается положительным во всем рассматриваемом промежутке изменения $t$.

Так как теперь область интегрирования не зависит от $t$, то можно применить правило дифференцирования под знаком интеграла, и мы получим
\[
\frac{d I}{d t}=\int_{S^{0}} \frac{d}{d t}(\mu \mathfrak{D}) d S^{0},
\]

где, конечно, полная производная от $\mu \mathfrak{D}$ должна быть взята, принимая во внимание, что $x_{i}$ зависят от $t$ в силу уравнений (36). Но прежде чем выполнять это дифференцирование, удобно снова перевести последний интеграл из области $S^{0}$ в область $S$, соответствующую любому моменту $t$, выполняя преобразование переменных,

обратное преобразованию (66). Так как определитель этого преобразования есть $\mathfrak{D}^{-1}$ и потому тоже положителен, то искомую производную можно будет написать в виде
\[
\frac{d I}{d t}=\int_{S} \mathfrak{D}^{-1} \frac{d}{d t}(\mu \mathfrak{D}) d s
\]

теперь все сведется к нахождению полной производной от определителя $\mathfrak{D}$.
Если, положив
\[
\mathfrak{D}=\left(\begin{array}{ccc}
x_{1} x_{2} & \ldots & x_{n} \\
x_{1}^{0} x_{2}^{0} & \ldots & x_{n}^{0}
\end{array}\right),
\]

примем во внимание равенства (36), то по известному правилу дифференцирования определителей будем иметь
\[
\frac{d \mathfrak{D}}{d t}=\sum_{i=1}^{n} \mathfrak{D}_{i}
\]

где
Но так как
\[
\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}^{0}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}^{0}} \quad(i, j=1,2, \ldots, n),
\]

то достаточно разложить $\mathfrak{D}_{i}$ в сумму $n$ определителей, соответственно $n$ слагаемым каждого члена (69) из $i$-ой строки, чтобы получить
\[
\mathfrak{D}_{i}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{k}}\left(\begin{array}{l}
x_{1} \ldots x_{i-1} x_{i} x_{i+1} \ldots x_{n} \\
x_{1}^{0} \ldots x_{i-1}^{0} x_{i}^{0} x_{i+1}^{0} \ldots x_{n}^{0}
\end{array}\right) \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

а так как определитель, который появляется здесь в виде множителя при $\partial X_{i} / \partial x_{k}$, равен нулю при $k
eq i$ и совпадает с $\mathfrak{D}$ при $k=i$, то предыдущая формула приводится к следующей:
\[
\mathfrak{D}_{i}=\mathfrak{D} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Если обратимся теперь к равенству (68), то найдем
\[
\frac{d I}{d t}=\int_{S}
u d S
\]

где для краткости положено
\[

u=\frac{d \mu}{d t}+\mu \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}}=\frac{\partial \mu}{\partial t}+\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\mu X_{i}\right) .
\]

Заметив это, мы назовем интеграл $I$ типа (67) интегральным инвариантом относительно системы дифференциальных уравнений (36), если при изменении $t$ он сохраняет постоянное значение, какова бы ни была область интегрирования в начальный момент $t_{0}$ и, следовательно, в любой момент $t$.

Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, очевидно, чтобы в любой момент было
\[
\frac{d I}{d t}=0,
\]

а при заданной произвольности $S$ легко убедиться на основании равенства ( $68^{\prime}$ ), что это условие будет выполнено только тогда, когда во всякий момент времени и во всякой точке $P$ области правильности, т. е. при всяком выборе переменных $x$ и $t$, будем иметь
\[

u=\frac{d \mu}{d t}+\mu \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}}=\frac{\partial \mu}{\partial t}+\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\mu X_{i}\right)=0 .
\]

Действительно, если $
u=0$, то в силу равенства (68′) непосредственно имеем $d I / d t=0$, каково бы ни было $S$, и, обратно, если эта полная производная тождественно равна нулю, то $v$, как непрерывная функция, не может быть отличной от нуля в какой-нибудь точке $P$ и в какой-нибудь момент $t$, без того чтобы оставаться такой же и с тем же знаком в некоторой окрестности $S^{*}$ точки $P$ и в некотором промежутке времени, содержащем $t$; но в таком случае, вопреки предположению, был бы отличен от нуля также и интеграл
\[
\int_{S^{*}} v d S^{*} .
\]

Из общих теорем существования интегралов уравнений с частными производными следует, что для всякой системы дифференциальных уравнений (36) существует бесконечно много функций $\mu$ положения и времени, удовлетворяющих равенству (70). Такие функции называются множителями системы (36), потому что по отношению к этой системе они обладают свойствами, аналогичными тем, которые для одного обыкновенного дифференциального уравнения имеет интегрирующий множитель Эйлера. Понятие об этих множителях и название их принадлежит Якоби, который выявил их важность для интегрирования системы (36), мы не будем останавливаться здесь на этом и ограничимся лишь, следуя Пуанкаре ${ }^{1}$ ), замечанием, что функция под

знаком интегрального инварианта порядка, равного порядку системы, является якобиевым множителем и обратно.

В виде непосредственного следствия получим, что для системы (36), для которой имеем
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}}=0
\]

или, как обычно говорят, для системы (36) с нулевой дивергенцией уравнение (70) множителя удовлетворяется значением $\mu=$ const, откуда вытекает инвариантность интеграла
\[
\int_{S} d S,
\]
т. е. инвариантность объема произвольной области $S$. Так, например, в случае обыкновенного пространства ( $n=3$ ), если рассматриваются внутри области правильности системы все те точки, которые в момент $t_{0}$ заключены в некоторой области $S^{0}$ с объемом $v_{0}$, то они во всякий другой момент $t$ будут заполнять некоторую область $S$, которая, вообще говоря, будет иметь другую форму, но сохранит неизменным объем $v_{0}$ (движение несжимаемой жидкости).
33. Замечания Лиувилля. Предыдущее следствие находит интересное применение в случае канонической системы (5). Мы имеем здесь систему порядка $2 n$, в которой неизвестные функции представляются двумя рядами сопряженных величин $p_{h}, q_{h}$, а соответствующие $X$ определяются выражениями $-\partial H / \partial q_{h}$, $\partial H / \partial p_{h}$, так что. дивергенция при любом $H$ обращается в нуль. Поэтому при любом движении, определяемом канонической системой, протяженность или объем в фазовом пространстве $p, q$ будут инвариантными.

Это свойство канонической системы, замеченное Лиувиллем ${ }^{2}$ ), имеет основное значение в статистической механике и в ее приложениях к кинетической теории газов, к термодинамике и т. д. 1). Оно имеет особенное значение еще и потому, что, как мы видели в п. 16 , объем в фазовом пространстве выражает в некотором роде внутренние свойства канонических переменных, так как он остается неизменным по отношению ко всякому вполне каноническому преобразованию.
34. ЛинЕЙные интегРАльныЕ инвариАнты. Пуанкаре ${ }^{2}$ ) не ограничился введением интегральных инвариантов типа (67), область интегрирования которых имеет размерность, равную порядку системы; он показал, что полезно ввести в рассмотрение более общие инварианты, определяемые интегралами, распространенными на многообразия с каким угодно числом измерений, меньшим порядка системы (линейные, поверхностные и другие интегралы).

Чтобы показать особенно простой пример таких инвариантов, остановимся на случае (в некотором смысле противоположном рассмотренному в п. 32), в котором многообразие интегрирования имеет наименьшее число измерений, т. е. сводится к линии; точнее, обращаясь исключительно к каноническим системам, докажем, что для всякой такой системы будет инвариантом интеграл
\[
J=\int_{\boldsymbol{L}} \sum_{h=1}^{n} p_{h} d q_{h}
\]

распространенный на замкнутую линию $L$ фазового пространства и, конечно, субстанциальный в смысле, разъясненном в п. 31. Обычно такой интегральный инвариант называют относительным, подчеркивая этим названием то обстоятельство, что его характер инвариантности, по существу, подчинен условию, что линия интегрирования замкнута.

Инвариантность интеграла $J$ устанавливается аналогично тому, как это делалось в случае п. 32 , проверкой того, что полная производная $d J / d t$ будет равна нулю всякий раз, как линия $L$ будет замкнутой. Для этой цели примем прежде всего во внимание, согласно тому, что было отмечено в п. 31 , что общее решение канонической системы, которое здесь соответствует уравнениям (66),
\[
p_{h}=p_{h}\left(t\left|p^{0}\right| q^{0}\right), \quad q_{h}=q_{h}\left(t\left|p^{0}\right| q^{0}\right) \quad(h=1,2, \ldots, n)\left(66^{\prime}\right),
\]

определяет одно-однозначное соответствие между координатами $p, q$ фазового пространства, относящимися к произвольному моменту $t$, и их начальными значениями $p^{0}, q^{0}$. При такой одно-однозначности $\qquad$

линия $L$ будет получаться из вполне определенной линии $L_{0}$, геометрического места начальных значений $p_{0}, q_{0}$, которая тоже будет необходимо замкнутой и поэтому доступной для параметрического представления
\[
p_{h}^{0}=p_{h}^{0}(\sigma), \quad q_{h}^{0}=q_{h}^{0}(\sigma) \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где, если $\sigma$ обозначает длину дуги, функции в правых частях будут периодическими с периодом, равным длине $s$ всей линии $L_{0}$.

Параметрические уравнения субстанциальной линии $L$ будут получены в функциях от $t$ и параметра $\sigma$, если мы в равенства (66′) вместо $p^{0}, q^{0}$ подставим ;только что указанные их выражения, а интеграл $J$, который надо распространить на эту линию, по выполнении выкладок представится как вполне определенная функция времени. Таким образом, для вычисления $d J / d t$ достаточно взять производную под знаком интеграла, принимая во внимание, что так как дифференциалы от $q$ относятся к параметру $\sigma$, не зависящему от $t$, то производная по $t$ от любого $d q$ будет тождественна с соответствующим $d \dot{q}$. Таким образом, получим
\[
\frac{d J}{d t}=\int_{L} \sum_{h=1}^{n}\left(\dot{p}_{h} d q_{h}+p_{h} d \dot{q}\right),
\]

или, применяя интегрирование по частям и замечая, что вследствие замкнутости линии интегрирования проинтегрированная часть обращается в нуль,
\[
\frac{d J}{d t}=\int_{L} \sum_{h=1}^{n}\left(\dot{p}_{l} d q_{h}-\dot{q}_{h} d p_{h}\right) ;
\]

теперь достаточно принять во внимание, что $p, q$ удовлетворяют канонической системе (5), чтобы убедиться, что выражение под знаком интеграла тождественно с полным дифференциалом от – $H$ по $p, q$, т. е. вычисленным в предположении постоянства $t$. Таким образом, сохраняя все время предположение о замкнутости линии интегрирования, заключаем
\[
\frac{d J}{d t}=0
\]